Soutenance de thèse de Bartholomé VIEILLE

Le sujet de cette thèse s’inscrit dans le cadre modélisation de la propagation épidémique par introductions multiples : une épidémie due à une maladie infectieuse peut être introduite à de multiples reprises dans une même population, ce qui aboutit à une multiplication des foyers infectieux. Cette motivation initiale nous a naturellement conduit à étudier des modèles dits auto-excitants. On s'est dans une première partie intéressés aux processus de Hawkes, qui en sont l' exemple courant, et qui par leur nature peuvent être utilisés pour modéliser des épidémies à introductions multiples. Plus précisément, nous avons cherché à caractériser des aspects multitemporels des distributions de tels processus. On a notamment déterminé une expression de la transformée de Laplace multitemporelle d’un tel processus et de la transformée de Laplace généralisée, qui élargit un résultat déjà existant. Une expression détaillée des moments et plus particulièrement des covariances d’un tel processus a été obtenue. On a ensuite cherché à formuler une version markovienne du processus de Hawkes. Celle-ci est plus simple à étudier par sa nature markovienne et conserve l’aspect auto-excitant, c’est donc une alternative intéressante aux processus de Hawkes. Ceci permet d’introduire une classe générale originale de processus auto-excitants, permettant d’englober plusieurs modèles déjà existants et quelques variantes de modèles répandus et utilisés pour la modélisation épidémiologique. Les distributions de ces processus ont ensuite été étudiées, à travers notamment les moments et la transformée de Laplace unitemporelle. On s’est ensuite attardé sur un cas simple de ce processus markovien, où la fonction d’intensité est affine. Ceci nous permet d’obtenir des résultats plus détaillés. Enfin en guise de perspective à ce travail, un cadre mathématique pour l’estimation et le contrôle d’épidémies à introduction multiples est présenté en dernière partie.

The framework of the subject of this thesis is epidemic propagation modelling by multiple introductions: an epidemic due to an infectious disease can be introduced multiple times into the same population, resulting in a multiplication of infectious focies. This initial motivation led us to study so-called self-exciting models. In the first part, we focused on Hawkes processes, which are a common example, and which by their very nature can be used to model epidemics with multiple introductions. More specifically, we sought to characterise the multi-temporal aspects of the distributions of such processes. In particular, we have determined an expression for the multitemporal Laplace transform of such a process and for the generalised Laplace transform, which extends an existing result. A detailed expression for the moments and, more specifically, the covariances of such a process was obtained. We then sought in formulating a Markovian version of the Hawkes process. The former is simpler to study due to its Markovian nature and retains the self-exciting aspect, making it an interesting alternative to Hawkes processes. This makes it possible to introduce an original general class of self-exciting processes, making it possible to encompass several existing models and a few variants of widespread models used for epidemiological modelling. The distributions of these processes were then studied, in particular using moments and the unitemporal Laplace transform. We then looked at a simple case of this Markov process, where the intensity function is affine. This allows us to obtain more detailed results. Finally, as a perspective to this work, a mathematical framework for the estimation and control of multiple-introduction epidemics is presented in the last part.