Ecole Doctorale
Mathématiques et Informatique de Marseille
Spécialité
Mathématiques
Etablissement
Aix-Marseille Université
Mots Clés
Modèles spatio-temporels,Processus de markov,Processus de Hawkes,Contrôle stochastique,Epidemiologie,Inférence statistique,
Keywords
Spatio-temporal models,Markov processes,Hawkes Processes,Stochastic control,Epidemiology,Statistical inference,
Titre de thèse
Caractérisation de la distribution de Processus ponctuels marqués auto-excitants de Hawkes et de Markov
Characterization of the distribution of marked self-exciting Hawkes and Markov point processes
Date
Jeudi 6 Juin 2024 à 14:00
Adresse
INRAE - Unité BioSP
228 route de l'Aérodrome
CS 40509 Domaine Saint-Paul - Site Agroparc
84914 Avignon Cedex 9 salle alvéole
Jury
Directeur de these |
M. Samuel SOUBEYRAND |
INRAE |
CoDirecteur de these |
M. Rachid SENOUSSI |
INRAE |
Examinateur |
Mme Anna MELNYKOVA |
Avignon Université |
Examinateur |
Mme Valérie GIRARDIN |
Université de Caen |
Président |
M. Denys POMMERET |
Aix-Marseille Université |
Rapporteur |
M. Frédéric LAVANCIER |
ENSAI Université de Nantes |
Rapporteur |
M. Matthieu ROSENBAUM |
Ecole Polytechnique CMAP |
Résumé de la thèse
Le sujet de cette thèse sinscrit dans le cadre modélisation de la propagation épidémique par introductions multiples : une épidémie due à une maladie infectieuse peut être introduite à de multiples reprises dans une même population, ce qui aboutit à une multiplication des foyers infectieux. Cette motivation initiale nous a naturellement conduit à étudier des modèles dits auto-excitants. On s'est dans une première partie intéressés aux processus de Hawkes, qui en sont l' exemple courant, et qui par leur nature peuvent être utilisés pour modéliser des épidémies à introductions multiples. Plus précisément, nous avons cherché à caractériser des aspects multitemporels des distributions de tels processus. On a notamment déterminé une expression de la transformée de Laplace multitemporelle dun tel processus et de la transformée de Laplace généralisée, qui élargit un résultat déjà existant. Une expression détaillée des moments et plus particulièrement des covariances dun tel processus a été obtenue. On a ensuite cherché à formuler une version markovienne du processus de Hawkes. Celle-ci est plus simple à étudier par sa nature markovienne et conserve laspect auto-excitant, cest donc une alternative intéressante aux processus de Hawkes. Ceci permet dintroduire une classe générale originale de processus auto-excitants, permettant denglober plusieurs modèles déjà existants et quelques variantes de modèles répandus et utilisés pour la modélisation épidémiologique. Les distributions de ces processus ont ensuite été étudiées, à travers notamment les moments et la transformée de Laplace unitemporelle. On sest ensuite attardé sur un cas simple de ce processus markovien, où la fonction dintensité est affine. Ceci nous permet dobtenir des résultats plus détaillés. Enfin en guise de perspective à ce travail, un cadre mathématique pour lestimation et le contrôle dépidémies à introduction multiples est présenté en dernière partie.
Thesis resume
The framework of the subject of this thesis is epidemic propagation modelling by multiple introductions: an epidemic due to an infectious disease can be introduced multiple times into the same population, resulting in a multiplication of infectious focies. This initial motivation led us to study so-called self-exciting models. In the first part, we focused on Hawkes processes, which are a common example, and which by their very nature can be used to model epidemics with multiple introductions. More specifically, we sought to characterise the multi-temporal aspects of the distributions of such processes. In particular, we have determined an expression for the multitemporal Laplace transform of such a process and for the generalised Laplace transform, which extends an existing result. A detailed expression for the moments and, more specifically, the covariances of such a process was obtained. We then sought in formulating a Markovian version of the Hawkes process. The former is simpler to study due to its Markovian nature and retains the self-exciting aspect, making it an interesting alternative to Hawkes processes. This makes it possible to introduce an original general class of self-exciting processes, making it possible to encompass several existing models and a few variants of widespread models used for epidemiological modelling. The distributions of these processes were then studied, in particular using moments and the unitemporal Laplace transform. We then looked at a simple case of this Markov process, where the intensity function is affine. This allows us to obtain more detailed results. Finally, as a perspective to this work, a mathematical framework for the estimation and control of multiple-introduction epidemics is presented in the last part.