Soutenance de thèse de Sébastien RATEL

Un schéma d'étiquetage est un procédé permettant de distribuer la représentation d'un graphe sur ses sommets. Il consiste en une fonction d'encodage qui attribue des étiquettes binaires (courtes) à chaque sommet, et d'une fonction de décodage qui, étant données les informations locales contenues dans deux étiquettes, et sans connaissance supplémentaire sur le graphe, permet de répondre (rapidement) à un type de requête pré-établi. Une partie des résultats de cette thèse sont initialement motivés par la construction de telles représentations distribuées. Ce document traite cependant de problèmes d'intérêt plus généraux tels que l'étude de bornes sur la densité de graphes, de la VC-dimension de familles d'ensembles, ou de propriétés métriques et structurelles. Nous établissons dans un premier temps des bornes supérieures sur la densité des sous-graphes de produits cartésien de graphes, puis des sous-graphes de demi-cubes. Pour ce faire, nous définissons des extensions du paramètre classique de VC-dimension (utilisé par Haussler, Littlestone et Warmuth en 1994 pour majorer la densité des sous-graphes d'hypercube). De ces bornes sur la densité, nous déduisons des bornes supérieures sur la longueur des étiquettes attribuées par un schéma d'adjacence à ces deux familles de graphes. Dans un second temps, nous nous intéressons à des schémas de distance et de routage pour deux familles importantes de la théorie métrique des graphes: les graphes médians et les graphes pontés. Nous montrons que la famille des graphes médians, sans cube, avec $n$ sommets, admet des schémas de distance et de routage utilisant tous deux des étiquettes de $O(log^3 n)$. Ces étiquettes sont décodées en temps constant pour retourner, respectivement, la distance exacte entre deux sommets, ou le port vers un sommet rapprochant (strictement) une source d'une destination. Nous décrivons ensuite un schéma de distances $4$-approchées pour la famille des graphes pontés, sans $K_4$, avec $n$ sommets, utilisant des étiquettes de $O(log^3 n)$ bits. Ces dernières peuvent être décodées en temps constant pour obtenir une valeur entre la distance exacte et quatre fois celle-ci.

A labeling scheme is a way of distributing the representation of a graph over its vertices. Such a scheme consists in an encoding function that constructs a (short) binary label for every vertex, and in a decoding function that can answer (quickly) a predefined query using only the local information contained in two labels (with no further knowledge of the graph). Constructing such distributed representations constituted the initial motivation of most of the results of this document. However, this manuscript concerns problem of more general interest such as bounding the density of graphs, studying the VC-dimension of set families, or investigating on metric and structural properties of graphs. As a first contribution, we upper bound the density of the subgraphs of Cartesian products of graphs, and of the subgraphs of halved-cubes. To do so, we extend the classical notion of VC-dimension (already used in 1994 by Haussler, Littlestone, and Warmuth to upper bound the density of the subgraphs of hypercubes). From our results, we deduce upper bounds on the size of labels used by an adjacency labeling scheme on these graph classes. We then investigate on distance and routing labeling schemes for two important families of metric graph theory: median graphs and bridged graphs. We first show that the class of cube-free median graphs on $n$ vertices enjoys distance and routing labeling schemes both using labels of $O(log^3 n)$ bits. These labels can be decoded in constant time to respectively return the exact distance between two vertices, or a port to take from a source vertex in order to get (strictly) closer to a target one. We then describe an approximate distance labeling scheme for the family of $K_4$-free bridged graphs on $n$ vertices. This scheme also uses labels of size $O(log^3 n)$ that can be decoded in constant time to return a value of at most four time the exact distance between two vertices.