Soutenance de thèse de Alejandro GIANGRECO MAIDANA

L'ensemble A(k) de points rationnels d'une variété abélienne A définie sur un corps fini k forme un groupe abélien fini. Ce groupe convient pour des multiples applications, et son structure est donc très important. Ainsi, il est fondamental de connaître les structures de groupe possibles des A(k) et quelques statistiques. Dans ma thèse je m'intéresse aux "variétés cycliques", i.e. variétés abéliennes définies sur des corps finis avec un groupe de points rationnels cyclique. Les isogénies nous donnent une classification moins fine que celle donnée par les classes d'isomorphisme de variétés abéliennes. Cette classification offre un outil très puissant en géométrie algébrique. Par la théorie de Honda-Tate, une classes d'isogénie est déterminée par son polynôme de Weil. Je donne un critère pour caractériser une "classe d'isogénie cyclique", i.e. une classe d'isogénie de variétés abéliennes définies sur des corps finis qui contient seulement des variétés cycliques. Ce critère est basé sur le polynôme de Weil de la classe d'isogénie. À partir de ça, je donne des bornes asymptotiques de la proportion de classes d'isogénie cycliques parmi certains familles de classes d'isogénie paramétrisées par son polynôme de Weil. Je donne aussi la proportion de classes d'isogénie cycliques "locaux" parmi le classes d'isogénie définies sur des corps finis F_q avec q éléments, quand q tends vers l'infini. Comme autre conséquence du critère précédent, je montre que parmi les classes d'isogénie de surfaces abéliennes qui ont un corps comme algèbre d'endomorphismes, celle qui a plus de points rationnels est cyclique et ordinaire.

The set A(k) of rational points of an abelian variety A defined over a finite field k forms an abelian finite group. This group is suitable for multiple applications, and its structure is very important. Know the possible groups structures of A(k) and some statistics is then fundamental. In my thesis I'm interested in "cyclic varieties", i.e. abelian varieties defined over finite fields with a cyclic group of rational points. Isogenies give us a coarser classification than that given by the isomorphism classes of abelian varieties, but it provides a powerful tool in algebraic geometry. From the Honda-Tate theory, an isogeny class is determined by its Weil polynomial. I give a criterion to characterize "cyclic isogeny classes", i.e. isogeny classes of abelian varieties defined over finite fields containing only cyclic varieties. This criterion is based on the Weil polynomial of the isogeny class. From this, I give asymptotic bounds on the fractions of cyclic isogeny classes among certain family of isogeny classes parameterized by its Weil polynomials. I also give the proportions of "local"-cyclic isogeny classes among the isogeny classes defined over the finite field F_q with q elements, when q tends to infinity. As another consequence of the previous criterion, I show that among isogeny classes of abelian surfaces with its endomorphism algebra being a field, the isogeny class with maximal number of rational points is cyclic and ordinary.