Soutenance de thèse de Benoît CADOREL

Ce travail de thèse porte sur l'étude de l'hyperbolicité complexe de compactifications de quotients de domaines symétriques bornés, et plus spécifiquement, de quotients de la boule. Si l'on se donne une telle compactification, on s'intéresse ainsi à la géométrie des courbes entières qu'elle contient, ainsi qu'au type de ses sous-variétés. Dans le cas d'un quotient de la boule, on utilise des méthodes métriques reposant sur les travaux de J.-P. Demailly et S. Boucksom, pour montrer que pour tout revêtement ramifié d'une compactification toroïdale, étale sur l'intérieur, et ramifiant à des ordres supérieurs à 7 sur le bord, il n'existe pas de sous-variété qui ne soit pas de type général, et non incluse dans le bord. Dans ce cadre, ceci fournit une version effective d'un théorème de Y. Brunebarbe. On peut aussi appliquer ces mêmes méthodes métriques à l'étude d'autres situations que ces compactifications lisses : avec E. Rousseau et B. Taji, on donne des critères pour l'hyperbolicité algébrique de compactifications de quotients singuliers. Par ailleurs, dans un travail en commun avec Y. Brunebarbe, on applique ces mêmes méthodes métriques au cas des variétés supportant une variation de structure de Hodge complexe, à variation maximale. Dans le cas de la boule, on présente aussi une version effective d'un théorème de J.-P. Demailly, concernant le caractère big des différentielles de jets de Green-Griffiths sur la compactification donnée. Enfin, on montre que les méthodes métriques présentées précédemment peuvent s'étendre au cas de tous les domaines symétriques bornés. Nos méthodes permettent par ailleurs de traiter des hyperbolicités algébriques et transcendantes de manière unifiée, et peuvent fournir des résultats effectifs, similaires aux précédents, pour d'autres domaines que la boule.

This work deals with the study of complex hyperbolicity of compactifications of quotients of bounded symmetric domains, and more specifically, of quotients of the ball. If we are given such a compactification, we are interested in the geometry of the entire curves it contains, as well as to the type of its subvarietes. In the case of a ball quotient, we use metric methods, based on the work of J.-P. Demailly and S. Boucksom, to show that on a ramified cover of a toroidal compactification, étale on the inside part, and ramifying at orders higher than 7 on the boundary, there is no subvariety which is not of general type, and also not included in the boundary. In this setting, this gives an effective version of a theorem of Y. Brunebarbe. We can also apply these same metric methods to the study of other situations than these smooth compactifications : with E. Rousseau and B. Taji, we give metric criterions for the algebraic hyperbolicity of these compactifications, when the quotients have cyclic singularities. Besides, in a joint work with Y. Brunebarbe, we apply these methods to the case of varieties which support a complex variation of Hodge structure, with maximal variation. In the case of the ball, we present also an effective version of a theorem of J.-P. Demailly, concerning the bigness of the Green-Griffiths jet differentials on the given compactification. Finally, we show that the previously described metric methods can actually be applied in the case of any bounded symmetric domain. Our methods permit to give a unified treatment of the algebraic and transcendental complex hyperbolicity, and can give effective results, similar to the previous ones, for other bounded symmetric domains than the ball.