Soutenance de thèse de Jeremy ATTARD

Notre connaissance actuelle de l'Univers repose sur l'existence de quatre interactions fondamentales, qui sont la gravitation, l'électromagnétisme, l'interaction forte et l'interaction faible. Elles forment la base conceptuelle de la physique moderne depuis un demi-siècle. Je m'intéresse dans ma thèse à l'aspect classique des théories physiques sous-jacentes, appelées « théories de jauge ». Ma démarche est celle d'un physicien mathématicien. Dans un premier temps, elle consiste à étudier les théories de jauge dans leur formulation mathématique, afin de mettre en lumière certaines structures géométriques et algébriques sous-jacentes. Dans un second temps, on propose de nouveaux cadres mathématiques possibles pour formuler des théories de jauge. On a exploré pour cela la géométrie conforme et les théories de jauge de la gravitation conforme associées, pour lesquelles le groupe de symétrie est élargi, passant du groupe de Lorentz au groupe conforme. Le tout est formulé dans le langage de la géométrie de Cartan. En appliquant la méthode de l'habillage, qui consiste à réduire la symétrie de jauge d'une théorie par un simple changement de variable, on retrouve les objets habituellement définis dans une telle géométrie, comme les Tractors et les Twistors, avec en prime une meilleure compréhension de leur nature géométrique. On présente également le cadre des algébroïdes de Lie transitifs, et différentes façons de formuler des théories de jauge en son sein. Premièrement, on développe une notion de tenseur sur les algébroïdes de Lie, le choix d'une base locale adaptée étant fondamentale dans la poursuite des calculs. On parvient, reprenant dans une formulation plus claire un travail de N. Boroojerdian, à décrire dans un unique lagrangien la relativité générale avec constante cosmologique ainsi que les théories de Yang-Mills pour les autres interactions. Le travail de C. Fournel est également présenté, dans lequel la notion de connexion généralisée sur des algébroïdes de Lie permet d'écrire un lagrangien contenant à la fois la théorie de Yang-Mills et un terme de Higgs plongé dans un potentiel quartique. Finalement, nous présentons un travail récent consistant à combiner géométrie de Cartan et algébroïdes de Lie transitifs. Pour cela, on écrit les suites d'Atiyah correspondant aux deux fibrés principaux sous-jacents à une géométrie de Cartan, puis nous donnons la définition d'une connexion de Cartan dans ce langage. Nous démontrons l'équivalence de cette définition avec la définition usuelle sur les fibrés principaux. Nous comparons également notre approche avec celle, récente également, de M. Crampin et D. Saunders.

Our current knowledge about Universe rests on the existence of four fundamental interactions. These are : gravitation, electromagnetism, weak interaction and strong interaction. They have formed the conceptual basis of modern physics since half a century. I am interested in the classical aspect of the underlying physical theories : « gauge theories ». My approach is that of a mathematical physicist. First, this consists in studying gauge theories in their mathematical formulation, in order to enlighten some underlying geometric and algebraic structures. Second, new mathematical frameworks are proposed to formulate gauge theories, generalizing the previous ones. In this aim, we explored conformal geometry and its associated conformal gauge theories. These are gravitational gauge theories for which one passes from the Lorentz group to the conformal as structure group. The whole work is formulated in the language of Cartan geometry. Applying the dressing field method, which consists in reducing the gauge symmetry of a theory by a mere change of variables, we recover some objects usually defined in this geometry, as Tractors and Twistors. The bonus is that we get a deeper understanding of their geometric nature. We also present the theory of transitive Lie algebroids, and different ways of formulating gauge theories in this framework. First, we develop a notion of tensors on Lie algebroids, with an adapted basis which is fundamental in order to facilitate computations. It is possible, as N. Boroojerdian already did, to describe in a unique lagrangian General Relativity with cosmological constant together with Yang-Mills theories for other interactions. We recast this work in our clearer notations. The work of C. Fournel is also presented, in which the notion of generalized connection on Lie algebroids allows to write a lagrangian which contains both Yang-Mills theory and a Higgs term embedded in a quartic potential.