Soutenance de thèse de Adam ARRAS

Cette thèse se concentre sur l'analyse spectrale dans un cadre aléatoire discret. Nous considérons l’opérateurs des plus proche voisins agissant sur un graphe infini avec deux types d’aléas. Le graphes enraciné unimodulaires obtenu par processus de branchement, appelé processus de Galton-Watson. Perturbation diagonale distribuée de manière identique qui code la présence d'un champ aléatoire, connue sous le nom de modèle d'impureté d'Anderson. Notre premier résultat est un nouveau critère de stabilité du spectre absolument continu sur les arbres, uniforme dans le degré moyen du graphe. Notre deuxième résultat est une correspondance spectrale entre le modèle d'Anderson et les opérateurs de convolution déterministes sur les groupes. À la fin de cette thèse, nous discutons d'une approche de l'absence de spectres singuliers, appelée méthode du commutateur.

This thesis focuses on spectral analysis in a discrete random framework. We consider nearest neighbor operators acting on infinite graphs with two different types of randomness. On the one hand, the unimodular Galton-Watson model which is an random rooted tree obtained by a branching process. On the other hand, identically distributed diagonal perturbation that encodes the presence of a random field, known as the Anderson impurity model. Our first result is a new stability criterion for the absolutely continuous spectrum on the trees, uniform in the average degree of the graph. Our second result is a spectral correspondence between the Anderson model and the deterministic convolution operators on the groups. At the end of this thesis, we discuss an approach to the absence of singular spectra, called the commutator method.