Soutenance de thèse de Nour El Houda KERRAOUI

Les travaux de cette thèse s’inscrivent dans le domaine de l’analyse spectrale des opérateurs de type Schrödinger. La première partie étudie le problème inverse de l’identification du potentiel d’un Hamiltonien d’Iwatsuka à partir de mesures de vélocité quantique. L’opérateur d’Iwatsuka est un Hamiltonien magnétique défini dans le plan, dont le champ magnétique ne dépend que de la variable longitudinale et tend vers deux valeurs constantes distinctes aux deux extrémités de la droite réelle. Le spectre de cet opérateur est absolument continu et est constitué de bandes. L’opérateur courant associé est défini par la réalisation de la seconde composante de l’observable vélocité pour un ensemble d’états quantiques dont l’énergie est localisée dans la première bande spectrale. Nous montrons que la connaissance de ce type de données détermine le potentiel d’Iwatsuka de façon unique. Dans la seconde partie, nous examinons la structure du spectre de l’opérateur de Dirac dans des domaines du plan qui sont construits comme des voisinages tubulaires de courbes planes. Nous considérons les conditions au bord connues sous le nom de conditions de masse infinie. Le spectre de cet opérateur est symétrique par rapport à l’origine et pour des voisinages tubulaires de faible épaisseur, nous fournissons un développement asymptotique du bas de la partie positive du spectre de cet opérateur, mettant en évidence l’influence de la géométrie à l’aide d’un opérateur effectif. Dans le cas d’un guide d’onde, cet opérateur effectif se présente sous la forme d’un opérateur de Schrödinger électrique pour lequel la courbure de la courbe génératrice du domaine apparaît dans le terme de potentiel électrique. Dans le cas d’un voisinage tubulaire d’un lacet, nous montrons qu’un phénomène lié à la non-simple connexité du domaine introduit en plus un terme de nature magnétique mettant en jeu la longueur du lacet.

The work of this thesis falls within the field of spectral analysis of Schrödinger type operators. The first part studies the inverse problem of identifying the potential of an Iwatsuka Hamiltonian from quantumvelocity measurements. The Iwatsuka operator is a magnetic Hamiltonian defined in the plane, whose magnetic field depends only on the longitudinal variable and tends towards two distinct constant values at infinity. The spectrumof this operator is absolutely continuous and is constituted of bands. The associated current operator is defined by the realization of the second component of the velocity observable for a set of quantumstates whose energy is localised in the first spectral band. We show that knowledge of this type of data uniquely determines Iwatsuka’s potential. In the second part, we examine the structure of the spectrumof the Dirac operator in planar domains which are constructed as tubular neighborhoods of planar curves. We consider boundary conditions known as infinite mass conditions. The spectrumof this operator is symmetric with respect to the origin and for thin tubular neighborhoods, we provide an asymptotic expansion of the bottom of the positive part of the spectrum of this operator, highlighting the influence of the geometry thanks to an effective operator. In the case of a waveguide, this effective operator has the formof an electric Schrödinger operator for which the curvature of the base curve of the domain appears in the electric potential term. In the case of a tubular neighborhood of a loop, we show that a phenomenon related to the non-simple connectedness of the domain introduces in addition a termof magnetic nature involving the length of the loop.