Soutenance de thèse de Baojun WU

Tout au long de cette thèse de doctorat, nous étudions la théorie des champs conformes de Liouville (LCFT). Il s'agit d'une théorie qui est apparue pour la première fois dans l'article fondateur de Polyakov, "Quantum Geometry of Bosonic Strings". Dans le cadre probabiliste, la théorie des champs conforme de Liouville est rigoureusement définie en utilisant le chaos multiplicatif gaussien (GMC) par l'approche de l'intégrale du chemin. La mesure GMC a été introduite pour la première fois par Kahane en 1985 et devient un objet important dans les probabilités modernes et la physique mathématique. Il existe une autre façon axiomatique d'étudier la théorie des champs conforme, appelée bootstrap conforme. Elle a été introduite pour la première fois par Belavin, Polyakov et Zamolodchikov, dans leur ouvrage pionnier "Infinite Conformal Symmetry in Two-Dimensional Quantum Field Theory". Fondamentalement, une fois la théorie des champs conforme étudiée, nous devons connaître les données de base appelées le spectre, et ensuite la fonction de corrélation de cette théorie peut être calculée par le bootstrap et les constantes de structure. Dans cette thèse, nous étudions principalement la relation entre la construction du bootstrap conforme et la construction de l'intégrale de chemin à travers des outils probabilistes et d'analyse. Le premier chapitre présente un aperçu de la théorie des champs conforme de Liouville et de la gravité quantique de Liouville, y compris les résultats existants, le résultat principal de cette thèse et les perspectives futures. Dans le deuxième chapitre, nous donnerons une construction unifiée de la théorie des champs conformes de Liouville sur la surface de Riemann avec frontières. Dans le troisième chapitre, nous étudions la théorie des champs conforme de Liouville sur l'anneau. Nous établissons que la construction du bootstrap conforme coïncide avec la construction de l'intégrale du chemin. Nous donnons également quelques applications de ce travail, comme la formule explicite de la fonction de partition de l'anneau/tore, et le bloc conforme à un point du tore avec $gamma$-insertion. Dans le quatrième chapitre, nous présentons un concept innovant de sphère à n-trous quantique, une surface aléatoire à la topologie multi-connectée. Nous procédons ensuite au calcul de sa distribution conjointe de la longueur et de la surface. En utilisant la sphère à n-trous quantique et des techniques de soudure conforme, nous construisons un objet qui émerge de la conjugaison de la gravité quantique de Liouville et de l'ensemble de boucles conformes. Cet objet se comporte de manière naturelle : il se rapproche du volume de Weil-Petersson lorsque $gamma$ tend vers zéro, et lorsqu'il tend vers $sqrt{frac{8}{3}}$, il fournit la distribution conjointe de la surface et de la longueur d'une surface de Brownian.

Throughout this Ph.D. thesis, we study the Liouville conformal field theory (LCFT). It is a theory that first appeared in Polyakov's seminal paper, "Quantum Geometry of Bosonic Strings". In the probabilistic framework, the Liouville conformal field theory is rigorously defined by using Gaussian multiplicative chaos (GMC) through the path integral approach. The GMC measure was first introduced by Kahane in 1985 and becomes an important object in modern probability and mathematical physics. There exists another axiomatic way to study conformal field theory, called conformal bootstrap. It was first introduced by Belavin, Polyakov and Zamolodchikov, in their pioneering work "Infinite Conformal Symmetry in Two-Dimensional Quantum Field Theory". Basically, once study the conformal field theory, we need to know basic data called the spectrum, and then the correlation function of this theory can be computed by the bootstrap and the structure constants. In this thesis, we are mainly studying the relationship between conformal bootstrap construction and path integral construction of Liouville conformal field theory through probabilistic and analysis tools. The first chapter provides an overview of the Liouville conformal field theory and Liouville quantum gravity, including existing results, the main result in this thesis, and future outlooks. In the second chapter, we give a unified construction of the Liouville conformal field theory on the Riemann surface with boundaries. In the third chapter, we prove the conformal bootstrap construction coincides with the path integral construction in annulus topology. We also give some applications of this work, like the partition function of the annulus/torus, and the $gamma$-insertion one-point conformal block of the torus. In the fourth chapter, we define a random surface with a multi-connected topology, called the quantum n-hole sphere. We calculate its joint distribution of area and length. By utilizing the quantum n-hole sphere and conformal welding techniques, we construct an object that arises from the Liouville quantum gravity coupled Conformal loop ensemble. It is natural in the sense that it approaches the Weil-Petersson volume when $gamma$ approaches zero, and when $gamma$ approaches $sqrt{frac{8}{3}}$, it gives the joint distribution of area and length of a Brownian surface.