Soutenance de thèse de Anatole GAUDIN

Cette thèse s'attèle principalement au problème de réalisation des espaces de Besov et Sobolev homogènes sur l'espace entier, et certains demi-espaces. Ce problème de réalisation des espaces de fonctions apparaît naturellement lors de l'étude du caractère bien posé global en temps et des problèmes de régularité de certaines équations paraboliques dans les domaines non-bornés. Les constructions proposées dans cette thèse étendent celles initiées par Bahouri, Chemin, Danchin, Hieber, Mucha et Tolksdorf au cours de différents articles et monographes. On passera en revue principalement les résultats de densité, d'interpolation réelle et complexe, ainsi que les résultats de trace sur le bord. Une difficulté majeure vient du fait que certains des espaces vectoriel normés considérés ne peuvent pas être complets, ni complétés au risque de ne plus être constitués d'éléments identifiables à des distributions. Le manque de complétude pour certains espaces requiert alors une nouvelle construction des outils afin de pouvoir exploiter la théorie des opérateurs et en particulier la régularité maximale globale en temps dans les espaces de Lebesgue. Une reconstruction de la théorie de l'interpolation et des opérateurs homogènes a été effectuée par Danchin, Hieber, Mucha et Tolksdorf, afin d'obtenir dans ce cadre des estimées globales en temps pour une régularité maximale du type Da Prato-Grisvard pour des équations paraboliques issues d'opérateurs sectoriels injectifs, non-inversibles. On se sert de ce cadre afin d'établir un nouveau type de régularité maximale globale en temps, avec une estimation de trace adaptée, où l'on remplace l'espace de Lebesgue en temps par un espace de Sobolev homogène. La théorie revisitée de l'interpolation et des opérateurs homogènes en combinaison avec notre construction des espaces homogènes et leurs propriétés sont appliqués à l'étude du Laplacien de Hodge sur le demi-espace plat en dimension arbitraire. On déduit de ce cette analyse la décomposition de Hodge/Helmholtz, pour tout degré de formes différentielles, des espaces de Sobolev et Besov homogènes qui se trouve être essentiellement optimale du point de vue de la régularité. En outre, cela nous permet de déduire de nombreux résultats de régularité maximale pour divers systèmes d'évolution de Stokes ou Maxwell assujettis à diverses conditions au bord. Ceux-ci peuvent être d'un intérêt certain en mécanique des fluides et en électromagnétisme. Enfin, on se concentrera sur la construction et la réalisation des espaces de fonctions homogènes sur les ouverts qui sont des épigraphes de fonctions uniformément lipschitziennes à valeurs réelles. On proposera également une construction des espaces homogènes sur le bord, ainsi qu'un théorème de trace essentiellement optimal du point de vue de la régularité avec des estimées homogènes du point de vue des normes.

This thesis is mainly concerned with the problem of realization of homogeneous Besov and Sobolev spaces on the whole space, and some half-spaces. This problem of realization of function spaces appears naturally when studying the global well-posedness in time and the regularity problems of some parabolic equations in unbounded domains. The constructions proposed in this thesis extend those initiated by Bahouri, Chemin, Danchin, Hieber, Mucha and Tolksdorf in various articles and monographs. We mainly review the density, real and complex interpolation results, as well as some results for traces on the boundary. A major difficulty comes from the fact that some of the considered normed vector spaces cannot be complete, nor be completed at the risk of not being constituted of elements identifiable with distributions. The lack of completeness for some spaces requires then a new construction of the tools in order to be able to exploit the operator theory, in particular for the trace estimates in the case of global-in-time parabolic maximal regularity for Lebesgue spaces. A reconstruction of the theory of interpolation and homogeneous operators has been carried out by Danchin, Hieber, Mucha and Tolksdorf, in order to obtain global-in-time estimates for maximal regularity of the Da Prato-Grisvard type for parabolic equations arising from injective, non-invertible sectorial operators. We use this framework to establish a new type of global-in-time maximal regularity results, with adapted trace estimates, where we replace the Lebesgue space in time by a homogeneous Sobolev space. The revisited theory of interpolation and homogeneous operators in combination with our construction of homogeneous spaces and their properties are applied to the study of the Hodge Laplacian on the flat upper half-space in arbitrary dimension. From this analysis, we derive the Hodge/Helmholtz decomposition, for any degree of differential forms, of homogeneous Sobolev and Besov spaces which is essentially optimal from the regularity viewpoint. Moreover, it also allows us to deduce many parabolic maximal regularity results for various Stokes or Maxwell evolutionary systems subject to various boundary conditions with global-in-time estimates. Those results may be of interest in fluid mechanics and electromagnetism. Finally, we also focus on the construction and realization of homogeneous function spaces on the open sets given by epigraphs of uniformly Lipschitz real-valued functions. We also propose a construction of homogeneous function spaces on the boundary, as well as a trace theorem essentially optimal from the point of view of regularity with homogeneous estimates from the point of view of norms.