Soutenance de thèse de Anh Tuan VU

Ma thèse porte sur l’étude de quelques modèles cinétiques utilisés pour décrire une variété de phénomènes dans différents domaines, d’une dynamique de la physique à la biologie, et apparaissent naturellement lorsque l’on considère une description statistique d’un grand système de particules/agents évoluant dans le temps. Plus précisément, on s’intéresse à différents problèmes d’analyse asymptotique et numérique de modèles cinétiques et hydrodynamiques provenant de la physique des plasmas et de la modélisation des mouvements collectifs dans les populations animales. Le premier problème est de dériver des modèles de fluides pour le modèle cinétique en swarming et le deuxième problème est consacré à l’étude du comportement en temps long des plasmas sous l’action d’un champ magnétique intense. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la dérivation des modèles fluides pour des particules interagissant par des forces d’auto-propulsion et de frottement, d’alignement et de bruit où la force d’alignement est choisie afin de préserver la quantité de mouvement totale. Nous dérivons des approximations du premier et du second ordre qui correspondent à deux approximations du développement de Hilbert. Enfin, nous effectuons une analyse détaillée pour formuler les équations macroscopiques sous une forme plus simple. Dans un second temps, nous nous consacrons à l’étude mathématique des équations de Vlasov-Poisson avec champ magnétique intense. Nous nous concentrons sur le comportement asymptotique du système de Vlasov-Poisson avec un fort champ magnétique externe, lorsque la fréquence des collisions n’est pas négligée. Nous dérivons un modèle fluide : les densités de particules limites sont des équilibres Maxwelliens, paramétrés par la concentration des particules et justifions le comportement asymptotique vers les solutions lisses de ce régime. Dans trois dimensions d’espace, nous devons faire face à des difficultés supplémentaires, contrairement au cas bidimensionnel, car une contrainte se produit le long de la direction parallèle. Pour éliminer le multiplicateur de Lagrange correspondant, nous effectuons une moyenne le long des lignes magnétiques. Dans le travail suivant, le système de Vlasov-Poisson bidimensionnel, avec un champ magnétique intense sans courbure mais variant régulièrement en position, a été traité. Enfin, du point de vue numérique, nous souhaitons compléter ce travail de modélisation par des simulations. On s’oriente vers les méthodes semi-Lagrangiennes, combinées à des techniques de splitting pour résoudre le système bidimensionnel de Vlasov-Poisson avec un fort champ magnétique externe uniforme. Dans ce cadre, nous développons et analysons une méthode numérique qui permet d’assouplir la contrainte habituelle très sévère sur le pas de temps, imposée par la forte intensité du champ magnétique, les résultats numériques viennent confirmer la pertinence de cette approche.

My thesis deals with the study of some kinetic models used to describe a variety of phenomena in different fields, from dynamics in physics to biology, and appear naturally when considering a statistical description of a large system of particles/agents evolving over time. More precisely, we are interested in different problems of asymptotic and numerical analysis of kinetic and hydrodynamic models coming from plasma physics and the modeling of collective movements in animal populations (birds, fish, bacteria,...). The first problem is to derive fluid models for the kinetic model in swarming and the second problem is devoted to the study of the long-time behavior of plasmas under the action of an intense magnetic field. In the first work, we are interested in the derivation of fluid models for particles interacting through self-propulsion and friction forces, alignment, and noise where the alignment force is chosen in order to preserve the total momentum. We derive first and second-order approximations which correspond to two approximations of the Hilbert expansion. Finally, we perform a detailed analysis to cast the macroscopic equations in a simpler form. In the second work, we devote ourselves to the mathematical study of the Vlasov-Poisson equations with an intense magnetic field. We focus on the asymptotic behavior of the Vlasov-Poisson system with strong external magnetic field when the frequency of collisions is not neglected. We derive a fluid model: the limit particle densities are Maxwellian equilibria, parameterized by the particle concentration, and justify the asymptotic behavior toward smooth solutions of this regime. In three space dimensions, we have to deal with additional difficulties, unlike the two-dimensional case, because a constraint occurs along the parallel direction. For eliminating the corresponding Lagrange multiplier, we average along the magnetic lines. In the following work, the two-dimensional Vlasov-Poisson system (two space dimensions and two velocity dimensions), with an intense magnetic field without curvature but smoothly varying in position, was treated. Finally, from a numerical point of view, we want to complete this modeling work with simulations. We are heading for semi-Lagrangian methods, combined with splitting techniques to solve the two-dimensional Vlasov-Poisson system with a strong uniform external magnetic field. In this context, we develop and analyze a numerical method that allows us to relax the usual very severe constraint on the time step, imposed by the high intensity of the magnetic field, the numerical results confirm the relevance of this approach.