Soutenance de thèse de Alphonse EMAKOUA

Le but de cette thèse est d’étudier les modèles stochastiques d’épidémies spatiales avec infection non locale. Nous définissons le taux d’infection d’un susceptible en fonction d’un paramètre de l’intervalle [0, 1] et selon que se paramètre vaut 0, 1 ou appartient à (0, 1) justifie l’objet des trois premiers chapitre. Dans le premier chapitre nous considérons un modèle SIR stochastique d’épidémie pour une population de taille constante qui se déplace sur un ensemble compact. Pour des raisons mathématiques nous ne tenons pas compte de la topographie de l’espace et supposons que les individus se déplacent tous avec un même taux de diffusion. Dans un premier temps nous supposons que le taux de diffusion est une constante strictement positive ensuite nous supposons qu’il est nul (cela fait référence à l’épidémie des plantes). Dans les deux cas le taux d’infection d’un susceptible que nous considérons permet de retrouver à la limite loi des grands un modèle déterministe spatiale dont le terme d’infection est celui le plus retrouvé dans la littérature. Nous étudions également dans les deux cas, les fluctuations autour de la limite loi des grands nombres du modèle stochastique, à l’aide du théorème central limite. Chacune des limites est un processus d’Ornstein-Uhlenbeck solution d’un système d’équations aux dérivées partielles stochastiques. L’étude d’un modèle SIR stochastique d’épidémie pour une population qui se déplace l'ensemble des nombres réels de dimension d fait l’objet du deuxième chapitre. Dans le premier chapitre le terme d’infection considéré ne tient pas compte de la densité de la population autour d’un individu. Ainsi dans ce chapitre, nous remédions de façon partielle à cette situation. En effet dans notre expression du taux d’infection d’un individu susceptible, le taux de contact d’un individu infectieux dépend de sa position par l’intermédiaire d’une fonction dont la valeur en un site peut refléter la densité moyenne de la population à ce site mais pas la densité locale exacte de la population du modèle stochastique. Nous supposons également que les individus se déplace suivant un processus d’Itô général. L’étude de la loi des grands nombres est plus simple et donne à sa limite un modèle déterministe d’épidémie spatiale dont on retrouve dans la littérature. Nous étudions également à partir du théorème central limite les fluctuations autour de la limite loi des grands nombres du modèle stochastique. Le troisième chapitre étudie un modèle SIR stochastique d’épidémie pour une population de taille constante qui se déplace sur l’adhérence d’un ouvert borné à frontière suffisamment régulière. Nous supposons que le flux à la frontière est nul en imposant les conditions de Neumann aux bords. Les individus se déplacent dans le domaine spatiale suivant un processus d’Itô normalement réfléchi à la frontière. Contrairement au deuxième chapitre, l’expression du taux d’infection considéré ici laisse apparaitre un terme qui représente la densité locale exacte de la population en site bien déterminé. L’étude de la loi des grands nombres dont la limite est un système d’équation différentielle parabolique de second ordre se fait sur l’ouvert borné décrit précédemment. L’étude du théorème central limite quand à elle se fait sur le tore et donne à sa limite un un processus d’Ornstein-Uhlenbeck solution d’un système d’équations aux dérivées partielles stochastiques. Dans le chapitre 4, nous étudions la dynamique d’une maladie infectieuse au sein d’une population répartie sur un compact, dans le cadre d’un modèle SIS. À l’aide des grandes déviations, on donne une estimation du temps mis par les perturbations aléatoires pour éteindre une situation endémique.

In this thesis we study spatial stochastic epidemics models with non-local infection. We define the infection rate of a susceptible as a function of a parameter of the interval [0, 1] and depending on whether this parameter is 0, 1 or belongs to (0, 1) justifies the object of the first three chapters. In the first chapter we consider a stochastic SIR epidemic model for a population of constant size moving on a compact set. For mathematical reasons we do not take into account the topography of the space and assume that all the individuals move with the same diffusion rate. We firstly assume that the diffusion rate is a positive constant, then we assume that it is zero (to refers to the plants epidemic). In both cases the infection rate of a susceptible allow us to obtain at the law of large numbers limit a spatial deterministic model whose infection rate is the most found in the literature. We also study in both cases, the fluctions around the law of large numbers limit of the stochastic model, using the central limit theorem. Each limit is an Ornstein-Uhlenbeck process, solution of a system of stochastic partial differential equations. The study of a stochastic SIR model of an epidemic for a population moving on the space of real numbers of dimension d is the subject of the second chapter. In the first chapter the infection term considered does not take into account the population density around an individual. Thus in this chapter, we remedy in a partial way this situation. Indeed in our expression of the infection rate of a susceptible individual, the contact rate of an infective individual depends on its position by the intermediary of a function whose value in a site can reflect the average density of the population at this site but not the exact local density of the population of the stochastic model. We also assume that individuals move according to a general Itô process. The study of the law of large numbers is simpler and gives at its limit a deterministic model of spatial epidemics which is found in the literature. We also study the fluctions around the law of large numbers limit of the stochastic model, through the central limit theorem . The third chapter studies a SIR stochastic epidemic model for a population of constant size moving on the closure of a open and bounded domain with a sufficiently smooth boundary. We assume that the flow at the boundary is zero by imposing Neumann conditions on the boundary. Individuals move in the spatial domain following a normally reflected at the boundary Itô process. Contrary to the second chapter, the expression of the rate of infection considered here allows the appearance of a term which represents the exact local density of the population in a well determined site. The study of the law of large numbers whose limit is a system of parabolic differential equation of second order is done on the open and bounded domain described above. The study of the central limit theorem is done on the torus and gives at its limit an Ornstein-Uhlenbeck process solution of a system of stochastic partial differential equations. In chapter 4, we study the dynamics of an infectious disease in a population distributed over a compact set, in the framework of an SIS model. Using large deviations, we give an approximation of the time taken by the random pertubations to extinct an endemic situation.