Soutenance de thèse de Nathanaël EON

L'invariance de jauge est un concept fondamental en physique, servant de fondement mathématique à la dérivation des interactions fondamentales. Dans cette thèse, la notion d'invariance de jauge est formalisée dans le cadre des automates cellulaires (AC). D'un point de vue classique, cette définition offre un chemin simple et direct vers les concepts essentiels de la symmétrie de jauge. Usuellement, une symétrie de jauge est tout d'abord motivée par une symmétrie globale. La théorie est ensuite étendue de sorte que la symétrie devienne locale. Les AC permettent de rendre ce processus d'extension de jauge formel. Nous montrons dans cette thèse l'équivalence entre symmétrie globale et l'existence d'une extension de jauge "relative". Ensuite, l'universalité des AC invariants de jauge est démontrée de deux façons indépendantes: premièrement via une équivalence avec les AC globallement symmétriques, qui sont eux-mêmes universels, et deuxièmement via une approche entièrement constructive. Dans le cadre des automates cellulaires quantiques, nous utilisons ici l'invariance de jauge pour parvenir à une formulation en espace-temps discret de l'électrodynamique quantique (EDQ) en trois dimensions d'espace. Elle prend la forme d'un circuit quantique, se répétant à l'infini dans l'espace et le temps, paramétré par un pas de discrétisation relativiste $Delta_t=Delta_x$. La stricte causalité de cette théorie est assurée de façon manifeste. Les fils du circuits coïncident exactement avec le cône de lumière, ce qui permet aussi d'optimiser la durée de la simulation en présence de décohérence. De fait, cette construction suit la logique qui amène à la définition du Lagrangien pour EDQ. C'est à dire qu'elle démare par une marche quantique de Dirac, dont la convergence vers des fermions relativistes libres est connue. Puis cette marche est étendue au cas multi-particules à travers un automate cellulaire quantique de telle sorte que les relations d'anti-commutation des fermions et l'invariance de jauge discrète soient respectées. Pour implémenter ces contraintes, il est nécessaire d'introduire un champs de jauge. Finalement, une dynamique électromagnétique est donnée au champs de jauge. Celle-ci peut être formulée comme une marche quantique sur chaque plaquette.

Gauge invariance is a fundamental concept in Physics, known to provide mathematical justification for the fundamental forces. In this thesis, gauge invariance is brought to the realm of classical and quantum cellular automata (CA). In a classical setting, it provides a simple yet rigorous route straight to the core concepts of gauge theories. Usually, gauge theories are built from a theory featuring a global symmetry, which is then extended to make the symmetry a local one (a.k.a. gauge-invariant). CA allows for this gauge extension process to be made formal. We show the equivalence between the pre-existence of a global symmetry and the ability to perform a "relative" gauge extension. Moreover, gauge invariant cellular automata are shown to be universal, through two independent proofs: first through the equivalence with globally symmetric CA which are themselves universal, and second through an entirely constructive approach. In the framework of quantum cellular automata (QCA), we use gauge invariance to construct a discrete spacetime formulation of $3+1$ quantum electrodynamics (QED). It takes the form of a quantum circuit, infinitely repeating across space and time, parameterized by the relativistic discretization step $Delta_t=Delta_x$. Strict causality is manifest as circuit wires coincide with the lightlike worldlines of QED; it follows that simulation time under decoherence is optimized. The construction replays the logic that leads to the QED Lagrangian. Namely, it starts from the Dirac quantum walk, well-known to converge towards free relativistic fermions. It then extends the quantum walk into a multi-particle sector quantum cellular automata in a way which respects the fermionic anti-commutation relations and the discrete gauge invariance symmetry. Both requirements can only be achieved at cost of introducing the gauge field. Lastly the gauge field is given its own electromagnetic dynamics, which can be formulated as a quantum walk at each plaquette.