Soutenance de thèse de Sergey SHEMYAKOV

La dynamique holomorphe est un domaine des mathématiques qui étudie le comportement des itérés des fonctions holomorphes et méromorphes. Il est lié à l'analyse numérique, aux systèmes dynamiques, et en particulier à la topologie et à la géométrie. Cette thèse contribue à la théorie de Thurston, un champ qui relie la géométrie des 3-variétés, la structure des automorphismes de surface, ainsi que la dynamique holomorphe. Du point de vue de la dynamique holomorphe, le problème de caractérisation de Thurston demande de distinguer et de décrire tous les systèmes dynamiques (post-singulièrement finis) possibles dans une famille donnée, par exemple "all polynomial dynamical dynamical systems " avec orbites finies de points critiques ou tous systèmes dynamiques exponentiels avec une orbite finie pour la valeur asymptotique. Du point de vue de la topologie et de la géométrie, il répond à la question : quand est-ce qu'un modèle topologique (post-singulièrement fini) d'une fonction méromorphe donné est réalisé par une fonction méromorphe réelle sur la sphère de Riemann? Les fonctions sur lesquelles nous portons intérêt dans cette thèse sont les fonctions entières avec un nombre fini de faisceaux assymptotiques, mais aucun point critique. Nous les appelons « fonctions multi-erreurs » ; celles-ci généralisant la fonction exponentielle avec une seule asymptote, et les fonctions d'erreur avec deux asymptotes. Ces fonctions sont données par la formule $g(z) = int_0^z e^{p(t)}dt$. Nous nous appuyons sur les résultats des publications de Douady et Hubbard (1993) et Hubbard, Schleicher et Shishikura (2009). En particulier, nous comptons sur l'itération de la fonction pullback de Thurston sur l'espace de Teichmüller et la décomposition épaisse-mince de (suites de) différentiels quadratiques. Nous montrerons qu'un modèle topologique d'une telle fonction est réalisé par une fonction holomorphe unique, à moins qu'il n'admette un cycle de Levy, qui est l'une des obstructions topologiques multicourbes les plus simples. Tout en prouvant ce résultat, nous décrirons un cadre plus large pour prouver le théorème de réalisation de Thurston pour d'autres classes de fonctions transcendantales. En fait, beaucoup de nos stratégies fonctionnent en admettant un nombre fini de points critiques, et même un nombre fini de pôles. De plus, nous proposons une approche conceptuelle pour étudier des problèmes analogues pour d'autres familles de fonctions. L'objectif de cette thèse est de développer une boîte à outils utile pour la théorie transcendantale de Thurston. Nous traitons celle-ci pour les familles de compositions de fonctions comme partie de cette boîte à outils. En particulier, nous prouvons que tout modèle post-singulièrement fini de composition de fonctions multi-erreurs est réalisé à moins qu'il n'admette un cycle de Levy. Mots-clés : dynamique holomorphe, dynamique transcendantale, esapces de Teichmüller, différentiels quadratiques, théorie de Thurston, fonctions multi-erreurs

Holomorphic dynamics is an area of mathematics that studies the behavior of iterates of holomorphic and meromorphic functions. It has important connections with numerical analysis, general dynamical systems, and in particular topology and geometry, among many other directions. This thesis contributes to Thurston theory, an important field that connects the geometry of 3-manifolds, the structure of surface automorphisms, as well as holomorphic dynamics. From the perspective of holomorphic dynamics, Thurston’s characterization problem asks to distinguish and describe all (postsingularly finite) possible dynamical systems in a given family, for example all polynomial dynamical dynamical systems with finite orbits of critical points or all exponential dynamical systems with a finite orbit of the asymptotic value. From the perspective of topology and geometry it answers the question: when is a given (postsingularly finite) topological model of a meromorphic function realized by an actual meromorphic function on the Riemann sphere? The main functions of interest in this thesis are entire functions with finitely many asymptotic tracts, but no critical points. We call such functions “multi-error functions”; these generalize the exponential function with a single asymptotic tract, and the error-functions with two such tracts. These functions are given by the formula $g(z) = int_0^z e^{p(t)}dt$. We build on the results of the publications of Douady and Hubbard (1993) and Hubbard, Schleicher and Shishikura (2009). In particular we rely on the iteration of the Thurston pullback map on Teichmüller space and the thick-thin decomposition of (sequences of) quadratic differentials. We prove that a topological model of such a function is realized by a unique holomorphic map unless it admits a Levy cycle, which is one of the simplest topological multicurve obstructions. While proving this result we describe a bigger framework for proving Thurston’s realization theorem for further classes of transcendental functions. In fact, much of our strategy works when admitting finitely many critical points, and even finitely many poles. Moreover, we lay out a conceptual approach to studying analogous problems for other families of functions. The goal of this thesis is to develop a useful toolbox for transcendental Thurston theory. We discuss Thurston theory for families of compositions of functions as a part of this toolbox. In particular, we prove that every postsingularly finite model of a composition of multi-error functions is realized unless it admits a Levy cycle. Keywords : holomorphic dynamics, transcendental dynamics, Teichmüller spaces, quadratic differentials, Thurston theory, multi-error functions