Soutenance de thèse de Roman CHERNOV

L’entropie topologique est connue pour être une mesure de la complexité d’un système dynamique donnée par l’itération d’une fonction continue. Pour les fonctions complexes dans tous les cas étudiés, elle s’avère constante, donc dans la dynamique complexe un autre concept est pris en compte, le concept d’entropie du cœur. Pour les polynômes complexes, l’entropie du cœur peut être définiecomme l’entropie topologique restreinte à l’arbre de Hubbard. Dans cette thèse, nous généralisons la notion d’entropie de noyau pour la famille transcendantale des fonctions cosinus $lambda cos z$ avec $lambda in C$ telle que la fonction ait des orbites critiques bornées. Dans le Chapitre 2, nous montrons que dans chaque espace des applications cosinus avec des combinatoires uniformément bornées, l’entropie du cœur est uniformément bornée et continue. Nous décrivons les propriétés combinatoires de la fonction cosinus dans la Section 2.2. Nous définissons la partition statique du plan complexe donnée par une fonction cosinus et explorons les représentants combinatoires des fonctions cosinus complexes. Ces représentants sont appelés adresses externes et ce sont desvséquences symboliques obtenues à partir de l’adresse d’une orbite critique relative à la partition statique. Les fonctions cosinus avec des valeurs critiques non échappantes correspondent à des adresses externes uniformément bornées. Nous désignons par $S_B$ un espace d’adresses externes uniformément bornées. Nous définissons l’entropie du cœur d’une application cosinus post-critiquement finie dans la Section 2.3 et étendons plus tard ce concept aux espaces d’adresses externes uniformément bornées. Nous obtenons le théorème suivant pour l’entropie du cœur (des énoncés et des bornes précis peuvent être vus par exemple dans l’introduction). Théorème. L’entropie du cœur d’une adresse externe uniformément bornée est uniformément bornée. Nous prouvons dans la Section 2.6 un résultat de continuité pour l’entropie du cœur. Les principaux outils sont décrits dans les Sections 2.4 et 2.5, ce qui implique le théorème suivant. Théorème. L’entropie du cœur est continue sur chaque espace d’adresses ex- ternes uniformément bornées $S_B$. Dans le Chapitre 3, nous discutons d’une relation entre les résultats ci-dessus et l’espace global des paramètres complexes. Nous observons le phénomène d’illimité locale de l’entropie du cœur à proximité des paramètres échappents. Dans la Section 3.2, nous utilisons l’expansivité de cosinus et la combinatoire illimitée aux paramètres échappents. Nous montrons l’existence de paramètres prépériodiques avec des propriétés spécifiques. Ces propriétés sont suffisantes pour obtenir l’entropie du cœur divergente. Théorème. Il y a des paramètres échappents $lambda_0$ tels que l’entropie du cœur est illimitée dans chaque voisinage de $lambda_0$.

Topological entropy is known to be a measure of complexity of a dynamical system given by iteration of a continuous map. For complex maps in all studied cases it known to be constant, so in complex dynamics another concept is considered, the concept of so-called core entropy. For complex polynomials the core entropy can be defined as the topological entropy restricted to the Hubbard tree. In this thesis, we generalize the notion of core entropy for the transcendental family of cosine maps $lambda cos z$ with $lambda in C$ such that the map has bounded critical orbits. In Chapter 2 we show that in every space of cosine maps with uniformly bounded combinatorics core entropy is uniformly bounded and continuous. We describe combinatorial properties of cosine function in Section 2.2. We define the static partition of the complex plane given by a cosine map and explore combinatorial representatives of complex cosine functions. These representatives are called external addresses and they are symbolic sequences obtained from the address of a critical orbit with respect to the static partition. Cosine functions with non-escaping critical values correspond to uniformly bounded external addresses and a space of uniformly bounded address we denote as $S_B$. We define the core entropy of a post-critically finite cosine maps in Section 2.3 and later extend this concept to the spaces of uniformly bounded external addresses. We obtain the following theorem for core entropy (precise statements and bounds can be seen e.g. in the introduction). Theorem. Core entropy of uniformly bounded external address is uniformly bounded. We prove in Section 2.6 a continuity result for core entropy. Main tools are described in Sections 2.4 and 2.5, the imply the following theorem. Theorem. Core entropy is continuous on each space of uniformly bounded external addresses $S_B$. In Chapter 3 we discuss a relation of the results above to the global complex parameter space. We observe the phenomenon of local unboundedness of core entropy near escaping parameters. In section 3.2 we use expansivity of cos and unboundedness of combinatorics at escaping parameters. We show existence of preperiodic parameters with specific properties. These properties are sufficient to obtain diverging core entropy. Theorem. There are escaping parameters $lambda_0$ such that core entropy is unbounded in every neighborhood of $lambda_0$.