Soutenance de thèse de Juan MARSHALL MALDONADO

Cette thèse étudie le spectre des systèmes associés aux substitutions, en particulier le spectre continu. Nous avons basé l'analyse sur l'étude du cocycle spectral et des sommes (et intégrales) de Birkhoff tordues. Ces outils ont été utilisés récemment dans de nombreux travaux pour assurer des taux quantitatifs de mélange faible et singularité du spectre dans des contextes tels que les sous-décalages substitutifs, les systèmes S-adiques, les surfaces de translations, les pavages substitutifs déterministes et aléatoires et les transformations d'échange d'intervalles. Les premiers résultats sont obtenus dans le cas des flots de suspension sur les substitutions de type Salem. Nous prouvons des décroissances de type H"{o}lder pour les mesures de corrélation sur les paramètres spectraux appartenant au corp algébrique engendré par le nombre de Salem. La preuve est basée sur une analyse fine de la distribution modulo 1 de la suite $(etaalpha^n)_{ngeq0}$, où $etainQ(alpha)$ et $alpha$ est le nombre de Salem correspondant. La deuxième série de résultats est liée à la substitution de Thue-Morse. Nous étudions le comportement des exposants de Lyapunov maximaux du cocycle spectral associé à la substitution de Thue-Morse et à ses facteurs topologiques. Nous prouvons que pour tous les facteurs topologiques, l'exposant de Lyapunov maximal est nul, et nous donnons également le comportement sous-exponentiel des sommes de Birkhoff tordues.

This thesis studies the spectrum of systems associated to substitutions, in particular the continuous spectrum. We have based the analysis on the study of the spectral cocycle and twisted Birkhoff sums (and integrals). These tools have been widely used in many recents works to ensure quantitative rates of weak mixing and spectrum singularity in settings such as substitution subshifts, S-adic systems, translations surfaces, deterministic and random substitutive tilings and interval exchange transformations. The first results are obtained in the case of suspension flows over Salem type substitutions. We prove H"{o}lder decays for correlation measures in the spectral parameters belonging to the algebraic field arising from the Salem number. The proof is based in a fine analysis of the distribution modulo 1 of the sequence $(etaalpha^n)_{ngeq0}$, where $etainQ(alpha)$ and $alpha$ is the corresponding Salem number. The second set of results are related to the Thue-Morse substitution. We study the behavior of the top Lyapunov exponents of the spectral cocycle associated to the Thue-Morse substitution and its topological factors. We prove that for all topological factors the top Lyapunov exponent is zero, and we also give the sub-exponential behavior of the twisted Birkhoff sums.