Soutenance de thèse de Minh Duy TRUONG

L'idée de l'expansion modale en électromagnétisme découle de la recherche sur les résonateurs électromagnétiques, qui jouent un rôle essentiel dans les développements en nanophotonique, et qui incluent les microcavités optiques, les lasers à semi-conducteurs, les nanorésonateurs plasmoniques, les métamatériaux optiques, et de traitement de l'information quantique. Tous les résonateurs partagent une propriété commune: ils possèdent un ensemble discret de fréquences spéciales qui apparaissent comme des pics dans les spectres de diffusion, appelées modes résonants. Ces modes de résonance régissent les interactions entre les résonateurs électromagnétiques et la lumière. Cela conduit à l’hypothèse que la réponse optique des résonateurs est le résultat de l'excitation de chaque état de résonance physique dans le système: sous l'excitation d'impulsions externes, ces modes de résonance sont initialement chargés, puis libèrent leur énergie qui contribue aux réponses optiques totales. Ces modes de résonance avec des fréquences complexes sont connus dans la littérature comme le mode quasi-normal (QNM). Mathématiquement, ces QNM correspondent à des solutions du problème aux valeurs propres des équations de Maxwell sans source. Dans le cas où la structure optique des résonateurs est dans un domaine spatial non borné et que les milieux sont dispersifs, cela nécessite de résoudre des problèmes aux valeurs propres non linéaires (en fréquence) et non hermitiens. Ainsi, tout le problème se résume à l'étude de la théorie spectrale pour les opérateurs électromagnétiques de Maxwell. En conséquence, les formalismes d'expansion modale ont récemment reçu beaucoup d'attention en photonique en raison de leurs capacités à modéliser les propriétés physiques dans la base constituée par les états de résonance naturelle, conduisant ainsi à une interprétation transparente des résultats numériques. Ce manuscrit est destiné à étendre l'étude du formalisme d'expansion QNM, en particulier, et de la théorie spectrale non linéaire, en général. Plusieurs modélisations numériques sont également présentées à titre d'exemples pour l'application de l'expansion modale dans les calculs. La thèse contient 3 parties: Partie 1 : Nous introduisons la définition de mode quasi-normal et nous rappelons quelques éléments de théorie électromagnétique de base. Cette partie est également conçue pour aider les lecteurs à mieux comprendre la motivation derrière l'étude de l'expansion modale dans les résonateurs électromagnétiques. Partie 2: Son objectif principal est de formaliser la mise en équations de l'expansion QNM des opérateurs de Maxwell. Pour ce faire, nous développons des théorèmes spectraux depuis les opérateurs auto-adjoints linéaires simples jusqu’aux opérateurs non linéaires en fréquence. Les formules d'expansion finales des opérateurs non linéaires sont développées sous la forme la plus générale possible. Cela élargit la capacité d'appliquer les formules d'expansion modale à d'autres opérateurs non linéaires, en dehors du cadre des problèmes électromagnétiques. Partie 3: Nous y mettons en pratique la théorie de l’expansion en QNM dérivée dans les parties précédentes. Cela comprend l'utilisation de l'analyse par éléments finis pour étudier la modélisation mathématique des structures optiques. La modélisation est implémentée via le package open source Onelab / Gmsh / GetDP. Le concept de couches parfaitement adaptées (PML) est utilisé pour gérer les structures non bornées spatialement. Nous y présentons l’utilisation des fonctions rationnelles pour exprimer la dépendance de la permittivité diélectrique vis-à-vis de la fréquence et représenter la dispersion du matériau dans les opérateurs de Maxwell. Nous étudions deux des principaux problèmes numériques des simulations fondées sur l'expansion modale : les formules d'expansion divergent autour des pôles de la fonction de permittivité et des résonances plasmoniques apparaissent pour certaines valeurs critiques.

The idea of the modal expansion in electromagnetics is derived from the research on electromagnetic resonators, which play an essential role in developments in nanophotonics, and includes optical microcavities, semiconductor lasers, plasmonic nanoresonators, optical metamaterials, DNA nanotechnologies, and quantum information processing. All of the electromagnetic resonators share a common property: they possess a discrete set of special frequencies that show up as peaks in scattering spectra and are called resonant modes. These resonant modes are soon recognized to dictate the interaction between electromagnetic resonators and light. This leads to a hypothesis that the optical response of resonators is the synthesis of the excitation of each physical-resonance-state in the system: Under the excitation of external pulses, these resonant modes are initially loaded, then release their energy which contributes to the total optical responses of the resonators. These resonant modes with complex frequencies are known in the literature as the Quasi-Normal Mode (QNM). Mathematically, these QNMs correspond to solutions of the eigenvalue problem of source-free Maxwell’s equations. In the case where the optical structure of resonators is unbounded and the media are dispersive (and possibly anisotropic and non-reciprocal) this requires solving non-linear (in frequency) and non-Hermitian eigenvalue problems. Thus, the whole problem boils down to the study of the spectral theory for electromagnetic Maxwell operators. As a result, modal expansion formalisms have recently received a lot of attention in photonics because of their capabilities to model the physical properties in the natural resonance-state basis of the considered system, leading to a transparent interpretation of the numerical results. This manuscript is intended to extend the study of QNM expansion formalism, in particular, and nonlinear (in frequency) spectral theory, in general. At the same time, several numerical modelings are also provided as examples for the application of modal expansion in computations. The general frame of this thesis encompasses the following parts: Part 1: We introduce the definition of Quasi-Normal Mode and recall some basic electromagnetic theories. It is also designed to help readers to better understand the motivation behind the study of modal expansions in electromagnetic resonators. Part 2: This is the core of the thesis and contains 4 chapters. The main goal of this part is to formalize the equations of QNM expansion of Maxwell operators. In order to do that, we develop spectral theorems, from simple linear self-adjoint operators to complicated non-linear operators. The final expansion formulas of non-linear operators are kept in their most general possible form. This expands the ability to apply the modal expansion formulas to other non-linear operators, outside the framework of electromagnetic problems. Part 3: There are 3 chapters. We put into practice the theory of the QNM expansion derived in the previous parts. This includes using the Finite Element Analysis to study the mathematical and numerical modeling of optical structures. The modeling is implemented through the open-source package Onelab/Gmsh/GetDP. The concept of Perfectly Matched Layers (PMLs) will be used to handle the unbounded structures. We introduce the rational functions to represent the dielectric permittivity as a function of frequency (and its analytic continuation to complex frequencies) in order to impose the dispersion of the material into the Maxwell operators. This leads to two difficulties for simulation of the modal expansion: the expansion formulas diverge around the poles of the permittivity function and plasmon resonances appear for certain critical values.