Soutenance de thèse de LYDIA OUAILI

Résumé de la thèse : La thèse s’intéresse à la contrôlabilité à zéro d’équations paraboliques et son coût. On obtient deux résultats principaux: 1-Dans le premier, publié en 2018 dans la revue, Maths Control and Related Fields, porte sur la contrôlabilité simultanée à zéro d’un système de deux équations paraboliques dont les opérateurs diffèrent par le potentiel. On montre que le contrôle au bord est soumis à un temps minimal donné par l' indice de condensation de la famille des valeurs propres de l’opérateur matriciel. Le même phénomène est présent dans le cas du contrôle interne (sous des contraintes sur le support du potentiel). Par des résultats de la théorie des problèmes inverses, on montre que l’indice de condensation peut avoir n’importe quelle valeur de [0,+infty]. Ce résultat permet de prouver que le contrôle au bord peut avoir n’importe quel temps minimal. 2- Le second résultat, en collaboration avec Manuel Gonzalez-Burgos, traite du coût du contrôle en l’absence de « gap » sur le spectre de l’opérateur considéré. On montre des estimations, par le haut et par le bas, de la famille bi-orthogonale aux exponentielles associées à ce spectre et on en déduit des estimations du coût du contrôle. On montre que ce cout peut-être plus mauvais que e^{C/T}, coût classique associé au contrôle d’équations paraboliques. Ces résultats sont appliqués à des problèmes de contrôle de modèles non linéaires et à des extensions de son premier travail au cas de la dimension d’espace plus grande que 1.

The thesis is devoted to study the null controllability and its cost of parabolic equations. Two main results are obtained: 1-In the first paper, published in 2018 in the journal, Maths Control and Related Fields, we deal with the simultaneous null controllability of two parabolic equations with different potentiel. In the case of boundary control we show the existence of minimal time of null controllability given by the condensation index of the family of eigenvalues of the matrix operator. The same phenomenon is present in the case of internal control (under constraints on the support of the potential). Using the inverse spectral theory, we show that the condensation index can have any value of [0, + infty]. This result proves that the boundary control can have any minimal time. 2- The second result, in collaboration with Manuel Gonzalez-Burgos, deals with the cost of control without "gap" condition on the spectrum of the operator considered. We show precise upper and lower bounds, of the bi-orthogonal family to the exponentials associated with this spectrum and we deduce estimates of the cost of control. We show that this cost may be worse than e^{C / T}, a classic cost associated with the control of parabolic equations. We apply these results to study the null controllability of nonlinear parabolic system and we extend the first work in higher dimension.