Ecole Doctorale
Mathématiques et Informatique de Marseille
Spécialité
Mathématiques
Etablissement
Aix-Marseille Université
Mots Clés
courbes algébriques,corps finis,complexité scalaire,corp de fonction algébrique,complexité algébrique,
Keywords
algebraic curves,finite fields,scalar complexity,algebraic function field,algebraic complexity,
Titre de thèse
Complexité scalaire des algorithmes de type Chudnovsky de multiplication dans
les corps finis
Scalar complexity of Chudnovsky-type algorithms of multiplication in finite fields
Date
Vendredi 29 Mai 2020 à 14:00
Adresse
Institut de Mathématiques de Marseille,
163 avenue de Luminy, Case 907,
13288 MARSEILLE cedex 09 Amphithéâtre Herbrand - Bat. TPR2 (1er étage) - Campus Luminy
Jury
Directeur de these |
M. Alexis BONNECAZE |
Aix-Marseill Université/Institut de Mathématiques de Marseille |
Rapporteur |
M. Laurent-Stéphane DIDIER |
Université du Sud Toulon Var - Laboratoire IMATH |
Rapporteur |
Mme Sihem MESNAGER |
Université Paris VIII (Département de mathématiques)/ Télécom ParisTech |
CoDirecteur de these |
M. Stéphane BALLET |
Aix-Marseill Université/Institut de Mathématiques de Marseille |
Examinateur |
Mme Nadia EL-MRABET |
École des Mines de Saint-Étienne/SAS |
Examinateur |
M. Daniel AUGOT |
INRIA Saclay Île-de-France & LIX |
Examinateur |
M. Serge VLADUT |
Aix-Marseill Université/Institut de Mathématiques de Marseille |
Résumé de la thèse
Lalgorithme de type évaluation-interpolation sur des courbes algébriques, introduit par D.V et G.V Chudnovsky en 1987, est à la base des techniques algorithmiques fournissant actuellement les meilleures bornes de la complexité bilinéaire de la multiplication dans les corps finis. En particulier, ces algorithmes sont connus pour avoir asymptotiquement une complexité bilinéaire linéaire ou quasi linéaire. Mais jusquà présent aucun travaux ne sétait attaqué à lanalyse de leur complexité scalaire. Aussi, sintéresse-t-on dans cette thèse à la complexité scalaire de ces algorithmes.
Plus précisément, nous présentons une stratégie générique permettant dobtenir
des algorithmes de type Chudnovsky ayant une complexité scalaire optimisée. Cette complexité est directement liée à une représentation des espaces de Riemann-Roch sous-jacents visant à lobtention de matrices creuses.
Les résultats théoriques et numériques obtenus suggèrent que notre stratégie
doptimisation est indépendante du choix du diviseur permettant de construire les espaces de Riemann-Roch.
En utilisant cette stratégie, nous améliorons de 27% la complexité scalaire de la construction de Baum-Shokrollahi (1992) sur le corps $mathbb{F}_{256}/mathbb{F}_4$. De plus, pour ce corps, notre construction est la meilleure connue en terme de complexité totale. Les sources des programmes Magma utilisés dans cette thèse sont données en appendice.
Thesis resume
The evaluation-interpolation algorithm on algebraic curves, introduced by D.V.
and G.V. Chudnovsky in 1987, is the basis of algorithmic techniques currently providing the best bounds of the bilinear complexity of multiplication in finite fields. In particular, these algorithms are known to have asymptotically linear or quasi-linear bilinear complexity. But until now no work has been done on the analysis of their scalar complexity. Therefore, in this thesis we are interested in the scalar complexity of these algorithms.
More precisely, we present a generic strategy to obtain Chudnovsky-type algorithms with optimized scalar complexity. This complexity is directly related to a representation of the underlying Riemann-Roch spaces aimed at obtaining sparse matrices.
The theoretical and numerical results obtained suggest that our optimization
strategy is independent of the choice of the divisor used to construct the Riemann-Roch spaces.
Using this strategy, we improve by 27% the scalar complexity of the construction
of Baum-Shokrollahi (1992) on the field $mathbb{F}_{256}/mathbb{F}_4$. Moreover, for this field, our construction is the best known in terms of total complexity. The sources of the Magma programs used in this thesis are given in appendix.