Soutenance de thèse de Cathy SWAENEPOEL

Dans ce travail, nous étudions la répartition des chiffres des nombres premiers. Bourgain (2015) a obtenu une formule asymptotique pour le nombre de nombres premiers avec une proportion c > 0 de chiffres préassignés en base 2 (c est une constante absolue non précisée). Nous généralisons ce résultat à toute base g ≥ 2 et nous donnons des valeurs explicites pour la proportion c en fonction de g. En adaptant, développant et précisant la stratégie introduite par Bourgain dans le cas g = 2, nous présentons une démonstration détaillée du cas général. La preuve est fondée sur la méthode du cercle et combine des techniques d’analyse harmonique avec des résultats sur les zéros des fonctions L de Dirichlet, notamment une région sans zéro très fine due à Iwaniec. Ce travail s'inscrit aussi dans l'étude des nombres premiers dans des ensembles « rares ». Nous étudions également la répartition des « chiffres » (au sens de Dartyge et Sárközy) de quelques suites remarquables dans le contexte des corps finis. Ce concept de « chiffre » est à la base de la représentation des corps finis dans les logiciels de calcul formel. Nous étudions des suites variées comme les suites polynomiales, les générateurs ou encore les produits d'éléments de deux ensembles assez grands. Les méthodes développées permettent d'obtenir des estimations explicites très précises voire optimales dans certains cas. Les sommes d'exponentielles sur les corps finis jouent un rôle essentiel dans les démonstrations. Les résultats obtenus peuvent être reformulés d'un point de vue plus algébrique avec la fonction trace qui est très importante dans l'étude des corps finis.

In this work, we study the distribution of prime numbers' digits. Bourgain (2015) obtained an asymptotic formula for the number of prime numbers with a proportion c > 0 of preassigned digits in base 2 (c is an absolute constant not specified). We generalize this result in any base g ≥ 2 and we provide explicit admissible values for the proportion c depending on g. By adapting, developing and refining Bourgain's strategy in the case g = 2, we present a detailed proof for the general case. The proof is based on the circle method and combines techniques from harmonic analysis together with results on zeros of Dirichlet L-functions, notably a very sharp zero-free region due to Iwaniec. This work also falls within the study of prime numbers in sparse “sets”. In addition, we study the distribution of the “digits” (in the sense of Dartyge and Sárközy) of some sequences of interest in the context of finite fields. This concept of “digits” is fundamental in the representation of finite fields in computer algebra systems. We study various sequences such as polynomial sequences, generators as well as products of elements of two large enough sets. Our methods provide very sharp explicit estimates which are even optimal in some cases. Exponential sums over finite fields play an essential role in the proofs. Our results can be reformulated from a more algebraic point of view with the trace function which is of basic importance in the study of finite fields.