Soutenance de thèse de Andrea GAGNA

Cette thèse s’inscrit dans le cadre d’un projet visant à comprendre la théorie de l’homotopie des n-catégories strictes et en particulier des 3-catégories strictes, la dimension 3 étant la plus petite dimension mal comprise. Plus précisément, on veut montrer que celle-ci est équivalente à la théorie de l’homotopie des types d’homotopie habituels. Dans la premier partie de ce travail, on généralise une stratégie de Fritsch et Latch qui nous emmène à montrer que le nerf de Street induit une équivalence en homotopie entre les n-catégories strictes et les types d’homotopie, pour $1 leq n leq infty$. Pour ce faire on dégage des conditions pour construire des inverses à gauche homotopiques du nerf de Street ainsi que de ces versions tronqués et permettent aussi de montrer que les complexes dirigés augmentés de Steiner modèlent les types d’homotopie. Ces conditions, qui concernent le type d’homotopie de l’oriental associé à un ensemble ordonné, avaient déjà été établies par Ara and Maltsiniotis et on en donne une preuve alternative. Dans la deuxième partie de cette thèse, on introduit la notion de 3-foncteur oplax normalisé entre 3-catégories strictes, qui est essentiellement une version algébrique d'un morphisme d’ensembles simpliciaux entre les nerfs de 3-catégories strictes. Pour déduire que deux tels 3-foncteurs oplax normalisés se composent, on montre d’abord que tout 3-foncteur oplax normalisé induit un morphisme d’ensembles simpliciaux, ensuite on identifie le sous-ensemble des morphismes d’ensembles simpliciaux entre nerfs de 3-catégories correspondant aux 3-foncteurs oplax normalisés et enfin on vérifie que ce sous-ensemble de morphismes d’ensembles simpliciaux est stable par composition. On donne aussi une description explicite de la réalisation $infty$-catégorique du nerf d’une petite catégorie sans sections et rétractions, les exemples le plus importants étant les ensembles ordonnés et la subdivision d’une petite catégorie. Dans la dernière partie de ce travail, on s’occupe de certaines sommes amalgamées de 3-catégories strictes, qui on voudrait montrer être des sommes amalgamées homotopiques afin d'établir une structure de catégorie de modèles à la Thomason pour les 3-catégories strictes. On fournit une description explicite de ces sommes amalgamées et on explique nos efforts visés à utiliser les 3-foncteurs oplax normalisés pour étendre les résultats et les constructions 2-catégoriques dues à Ara et Maltsiniotis.

This thesis falls with the framework of the project addressed to understanding the homotopy theory of strict n-categories and in particular of strict 3-categories, the dimension 3 being the smallest dimension not well-understood. More precisely, we would like to prove that this latter is equivalent to the homotopy theory of the usual homotopy types. In the first part of this work I generalise a strategy of Fritsch and Latch that leads us to show that the Street nerve induces an equivalence in homotopy between strict n-categories and the homotopy types, for $1 leq n leq infty$. In order to do this, we give conditions for constructing homotopy left-inverses of the Street nerve as well as its truncated versions and these also allow to show that Steiner's augmented directed complexes model homotopy types. These conditions, dealing with the homotopy type of the oriental associated to a poset, have already been established by Ara and Maltsiniotis and I give an alternative proof of this fact. In the second part of this thesis I introduce the notion of normalised oplax 3-functor, which is basically an algebraic version of a morphism of simplicial sets between the nerves of strict 3-categories. To deduce that two such normalised oplax 3-functors compose, we first show that any normalised oplax 3-functor induces a morphism of simplicial sets, then we characterise the subset of morphisms of simplicial sets between nerves of 3-categories corresponding to normalised oplax 3-functors and finally we check that this subset of morphisms of simplicial sets is closed under composition. We also present an explicit description of the $infty$-categorical realisation of the nerve of a small category without sections and retractions, the most important examples of which being the posets and the subdivision of a small category. In the last part of this work we deal with certain pushouts of strict 3-categories, that we would like to show they are in fact homotopy pushouts so that we could establish a Thomason-like model category structure for strict 3-categories. WE give an explicit description of these pushouts and we explain our efforts aimed at making use of normalised oplax 3-functors to extend the 2-categorical results and constructions due to Ara and Maltsiniotis.