Soutenance de thèse de Antoine PINOCHET LOBOS

Cette thèse traite de différents problèmes qui s'inscrivent dans le cadre de la théorie des groupes et des systèmes dynamiques, mais s'articulent tous autour des représentations unitaires. Plusieurs thématiques sont considérées. La première concerne la notion de discrépance, qui mesure le taux de convergence des moyennes ergodiques. Nous donnons l'asymptotique exacte de la discrépance des moyennes considérées par Lubotzky-Phillips-Sarnak pour certaines actions de groupes libres par isométrie sur la sphère de dimension deux, puis nous discutons des questions d'optimalité de la discrépance : pour les actions par isométries de groupes libres sur la sphère, l'optimalité est exceptionnelle, tandis que pour les actions par automorphismes de sous-groupes de $mathbf{SL}_2(mathbb{Z})$ sur le tore de dimension deux, l'optimalité est systématique ; en outre, pour tout groupe discret et dénombrable $Gamma$, le décalage de Bernoulli sur $Gamma$ a toujours une discrépance optimale ; par ailleurs, la discrépance a une interprétation statistique que nous développons, et nous démontrons une inégalité qui permet de situer la discrépance dans le cas des actions de groupes dans le cadre général des méthodes de Monte-Carlo. Enfin, nous obtenons également une minoration de la discrépance dans le cas où le groupe agissant est localement compact. La deuxième concerne l'action du groupe libre sur le bord de l'arbre de Cayley qui lui est associé. Nous démontrons un théorème ergodique pour cette action, qui a la particularité de ne pas préserver les mesures naturelles (et équivalentes) que l'on peut construire sur ce bord, mais de préserver leur classe ; il apparaît alors que les moyennes à considérer ne sont pas les généralisations naïves des moyennes de Birkhoff-von Neumann, mais plutôt des versions pondérées de celles-ci. Nous retrouvons ainsi l'irréductibilité de la représentation unitaire associée à l'action. La troisième thématique concerne la propriété de Howe-Moore. Les groupes qui la vérifient ont la propriété intrigante et remarquable que toutes leurs actions ergodiques sont automatiquement mélangeantes. A ce jour, on ne sait que donner une liste de groupes la satisfaisant, et tous les groupes de cette liste ont une structure particulière (à savoir, existence de ce que l'on appelle une ``décomposition de Cartan", et une propriété à laquelle nous avons donné le nom ``propriété de Mautner") qui entraîne la propriété de Howe-Moore, d'après le travail de Ciobotaru. Nous donnons une généralisation de la propriété de Howe-Moore, ainsi que de la propriété de Mautner, afin de pouvoir considérer le cas de produits de groupes de cette liste, qui, eux, ne possèdent pas la propriété de Howe-Moore. La quatrième thématique concerne la propriété de décroissance rapide radiale (RRD). Cette propriété est un affaiblissement de la propriété de décroissance rapide (RD), qui affirme une injection continue entre deux complétions de l'algèbre d'un groupe muni d'une fonction de longueur, qui s'est révélée utile dans le cadre de la conjecture de Baum-Connes. Pour la résumer en un slogan, on dit que RD est la généralisation non-commutative du fait que les fonctions lisses sont continues. Le problème de savoir si les réseaux cocompacts de groupes de Lie semisimple de rang supérieur ou égal à deux ont la propriété RD est ouvert et porte le nom de ``conjecture de Valette". Nous montrons que tous les réseaux ont la propriété de décroissance rapide radiale, et nous donnons l'exemple explicite d'un groupe discret, muni d'une fonction de longueur naturelle, quasi-isométrique à une longueur des mots, qui possède la propriété RRD, mais pas la propriété RD, répondant ainsi à une question posée par Chatterji.

This thesis treats several problems arising in group theory and dynamical systems, revolving around the theory of unitary representations. We consider four topics. The first one is the concept of discrepancy, which measures the rate of convergence of ergodic means. We give the exact rate of convergence in the ergodic theorem of Lubotzky-Phillips-Sarnak, who consider certain actions by isometries of free groups on the two-dimensional sphere, and we discuss questions of optimality of the discrepancy : for actions by isometries of free groups on the sphere, optimality is exceptional, whereas for actions by automorphisms of subgroups of $mathbf{SL}_2(mathbb{Z})$ on the two-dimensional torus, optimality is systematic ; moreover, the optimality of the discrepancy is always attained in the case of Bernoulli shifts of discrete, countable groups. From a broader point of view, discrepancy has a statistical interpretation that we discuss, and we prove an inequality that allows us to locate the discrepancies in the case of group actions in the general framework of Monte-Carlo methods. Lastly, we consider the case where the acting group is locally compact, and we prove a general lower bound for the discrepancy. The second one concerns the action of the free group on the boundary of the Cayley tree that is associated to it. We prove an ergodic theorem for this action, which does not preserve the natural (equivalent) measures with which we can endow this boundary, but preserves their class. It appears that the worthwhile means to consider are not the naive generalizations of Birkhoff-von Neumann ones, but rather weighted versions. We recover the irreducibility of the associated unitary representation. The third one concerns the Howe-Moore property. Groups that satisfy it have the intriguing and remarkable property that all of their ergodic actions are automatically strong mixing. To this day, we only know a list of groups satisfying it, and all groups in this list have a particular structure (that is, they possess so-called "Cartan decompositions" and a property that we have called the "Mautner property") that implies the Howe-Moore property. We formulate a generalization of the Howe-Moore property and the Mautner property, in order to be able to consider the case of products of groups of this list, which do not have the Howe-Moore property. The fourth one concerns the radial rapid decay property (RRD). This property is a weakening of the rapid decay property (RD), which postulates the continuous injection between two completions of the algebra of a group endowed with a length function,and which proved to be relevant in the context of the Baum-Connes conjecture. One says, to summarize it in a catchphrase, that RD is the non-commutative generalization of the fact that smooth functions are continuous. The problem to know whether a cocompact lattice in a higher-rank semisimple Lie group possess the RD property is open and was stated by Valette. We show that all lattices have the RRD property, and we give the explicit example of a discrete group, endowed with a natural length function which is quasi-isometric to a word-length, that has RRD, but doesn't have RD, answering a question of Chatterji.