Soutenance de thèse de Valentin PLECHINGER

La thèse porte sur la classification des fibrés en droites affines sur un espace complexes compacts X Le but final est la construction et l’étude de l'analogue affine Picaff(X) de l’espace classifiant Pic(X) des fibrés en droites linéaires sur X introduit par Grothendieck. Puisque le groupe affine Aff(1) n’est pas abélien, la classification des fibrés en droites affines est beaucoup plus difficile que la classification des fibrés en droites linéaires. En plus Aff(1) n’est pas un groupe réductif, donc on ne peut pas utiliser les méthodes de la théorie géométrique des invariants (GIT) pour introduire une condition de stabilité et les espaces de modules correspondants à une telle condition. La première partie de la thèse étudie le problème de la représentabilité (au sens de géométrie complexe classique) du foncteur qui associe à un espace complexe T l’ensemble des familles de (classes d’equivalence de) fibrés en droites affines paramétrés par T. Sous quelles conditions ce functor est representable par un espace complexe? On va donner un critère précis d’existence en mettant en évidence la complexité du problème. En général la réponse est négative. La seconde partie de la thèse étudie en détail le champ de modules qui classifie les fibrés affines en droites sur X rigidifiés en un point fixé x. Plus précisément, en supposant que X est une variété projective lisse, on obtient une description relativement simple et explicite de ce champ de modules: on va l’identifier avec un champ quotient relatif d’un espace linéaire par un fibré vectoriel sur Pic(X). La construction dépend du choix d'un diviseur suffisamment ample sur X et utilise une méthode de construction importante dans la théorie des fibrés vectoriels sur les variétés algébriques: la transformation élémentaire. Le champ de modules Picaff(X), qui classifie les fibrés affines en droites (non-rigidifiés) sur X, est obtenu comme C*-quotient de ce champ quotient relatif. En utilisant cette description, on détermine explicitement le type d'homotopie du champ de modules Picaff(X).

This thesis concerns the classification of affine line bundles on a compact complex space X. The final goal is the construction and the study of the affine analogue Picaff(X) of Grothendieck’s classifying space Pic(X) of (linear) line bundles on X. Since the affine group is not abelian, the classification of affine line bundles is substantially more difficult than the classification of (linear) line bundles. Moreover, Aff(1) is not a reductive group, so one cannot use the methods of the Geometric Invariant Theory (GIT) to introduce a stability condition and the corresponding moduli spaces of stable bundles. The first part of the thesis studies the representability problem (in the sense of classical complex geometry) for the functor which associates to a complex space the set of (equivalence classes of) affine line bundles parameterised by T. Under which condition is this functor representable? We will give a precise existence criterion which emphasises the complexity of the problem: in general the answer is negative. The second part of the thesis studies in detail the moduli stack of affine line bundles on X framed at a fixed point x. More precisely, assuming that X is a smooth projective variety, we obtain a relatively simple explicit description of this moduli stack: we will identify it with a relative quotient stack of a linear space by a vector bundle on Pic(X). The construction depends on the choice of a sufficiently ample divisor on X, and makes use of an important construction method in the theory of vector bundles on algebraic varieties: the elementary transformation. The moduli stack Picaff(X) which classifies (non-framed) affines line bundles on X, will be obtained as C*-quotient of this relative quotient stack. Using this description, we describe explicitly the homotopy type of the moduli stack Picaff(X).