Ecole Doctorale
Mathématiques et Informatique de Marseille
Spécialité
Mathématiques
Etablissement
Aix-Marseille Université
Mots Clés
Géométrie complexe,Champs analytiques et algébriques,Géométrie algébrique,,
Keywords
Complex geometry,Analytic and algebraic stacks,Algebraic geometry,,
Titre de thèse
espaces de modules de fibrés en droites affines
moduli of affine line bundles
Date
Friday 4 October 2019 à 14:00
Adresse
F.R.U.M.A.M. - Fr 2291 - CNRS
Aix Marseille Université - CS 80249
3, place Victor Hugo - case 39
13331 MARSEILLE Cedex 03 Salle de Seminaire FRUMAM
Jury
Directeur de these |
M. ANDREI TELEMAN |
Université dAix-Marseille |
Rapporteur |
M. Jochen HEINLOTH |
Universität Duisburg-Essen |
Rapporteur |
M. Philippe EYSSIDIEUX |
Université Grenoble Alpes |
Examinateur |
M. Matei TOMA |
Université de Lorraine |
Examinateur |
M. Karl OELJEKLAUS |
Université dAix-Marseille |
Examinateur |
Mme Anne PICHON |
Université dAix-Marseille |
Examinateur |
M. Jón MAGNÚSSON |
University of Iceland |
Résumé de la thèse
La thèse porte sur la classification des fibrés en droites affines sur un espace complexes compacts X Le but final est la construction et létude de l'analogue affine Picaff(X) de lespace classifiant Pic(X) des fibrés en droites linéaires sur X introduit par Grothendieck.
Puisque le groupe affine Aff(1) nest pas abélien, la classification des fibrés en droites affines est beaucoup plus difficile que la classification des fibrés en droites linéaires. En plus Aff(1) nest pas un groupe réductif, donc on ne peut pas utiliser les méthodes de la théorie géométrique des invariants (GIT) pour introduire une condition de stabilité et les espaces de modules correspondants à une telle condition.
La première partie de la thèse étudie le problème de la représentabilité (au sens de géométrie complexe classique) du foncteur qui associe à un espace complexe T lensemble des familles de (classes dequivalence de) fibrés en droites affines paramétrés par T. Sous quelles conditions ce functor est representable par un espace complexe? On va donner un critère précis dexistence en mettant en évidence la complexité du problème. En général la réponse est négative.
La seconde partie de la thèse étudie en détail le champ de modules qui classifie les fibrés affines en droites sur X rigidifiés en un point fixé x. Plus précisément, en supposant que X est une variété projective lisse, on obtient une description relativement simple et explicite de ce champ de modules: on va lidentifier avec un champ quotient relatif dun espace linéaire par un fibré vectoriel sur Pic(X).
La construction dépend du choix d'un diviseur suffisamment ample sur X et utilise une méthode de construction importante dans la théorie des fibrés vectoriels sur les variétés algébriques: la transformation élémentaire.
Le champ de modules Picaff(X), qui classifie les fibrés affines en droites (non-rigidifiés) sur X, est obtenu comme C*-quotient de ce champ quotient relatif.
En utilisant cette description, on détermine explicitement le type d'homotopie du champ de modules Picaff(X).
Thesis resume
This thesis concerns the classification of affine line bundles on a compact complex space X. The final goal is the construction and the study of the affine analogue Picaff(X) of Grothendiecks classifying space Pic(X) of (linear) line bundles on X.
Since the affine group is not abelian, the classification of affine line bundles is substantially more difficult than the classification of (linear) line bundles. Moreover, Aff(1) is not a reductive group, so one cannot use the methods of the Geometric Invariant Theory (GIT) to introduce a stability condition and the corresponding moduli spaces of stable bundles.
The first part of the thesis studies the representability problem (in the sense of classical complex geometry) for the functor which associates to a complex space the set of (equivalence classes of) affine line bundles parameterised by T. Under which condition is this functor representable? We will give a precise existence criterion which emphasises the complexity of the problem: in general the answer is negative.
The second part of the thesis studies in detail the moduli stack of affine line bundles on X framed at a fixed point x. More precisely, assuming that X is a smooth projective variety, we obtain a relatively simple explicit description of this moduli stack: we will identify it with a relative quotient stack of a linear space by a vector bundle on Pic(X). The construction depends on the choice of a sufficiently ample divisor on X, and makes use of an important construction method in the theory of vector bundles on algebraic varieties: the elementary transformation.
The moduli stack Picaff(X) which classifies (non-framed) affines line bundles on X, will be obtained as C*-quotient of this relative quotient stack.
Using this description, we describe explicitly the homotopy type of the moduli stack Picaff(X).