Soutenance de thèse de CARBO-GIL Fabien
Titre de thèse
Le programme de Gödel et le problème du continu: implications philosophiques et développements mathématiques récents
Gödel's program and the continuum problem: philosophical implications and recent mathematical developments
Résumé de la thèse
Cette thèse explore l'Hypothèse du Continu (HC) à travers la philosophie de Kurt Gödel et en dialogue avec les développements récents de la théorie des ensembles. L'HC, formulée par Cantor, postule qu'il n'existe pas de cardinal intermédiaire entre l'infini dénombrable et le continu. Depuis que Gödel puis Cohen ont démontré la cohérence de l'HC et de sa négation avec les axiomes usuels de ZFC, son indécidabilité lui confère un statut épistémologique particulier. On se propose d'analyser la valeur épistémologique de cette situation, en assumant une approche interdisciplinaire à la croisée des mathématiques et de la philosophie.
Le premier temps de l'étude situe la théorie des ensembles dans le débat sur les fondements. Si ZFC fournit le langage commun de la quasi-totalité des mathématiques, elle révèle aussi des limites irréductibles. L'examen des alternatives (théories des classes, théorie des catégories) nous conduit à reposer la question du cadre philosophique de l'analyse des fondements. Nous nous inscrivons dans un rapport critique avec le naturalisme (Quine, Maddy), qui réduit la philosophie à la description de la pratique scientifique. Nous défendons, au contraire, l'importance des enjeux métaphysiques, en particulier lorsqu'ils révèlent la fécondité heuristique des positions philosophiques pour la recherche mathématique.
Le second moment est consacré au réalisme conceptuel de Gödel. Celui-ci soutient que les concepts possèdent une existence indépendante du langage et des objets auxquels ils s'appliquent. À ce réalisme s'ajoute un optimisme rationaliste : toute question bien posée admet une solution, pourvu que l'on découvre les axiomes adéquats. Ainsi, les théorèmes d'incomplétude ne marquent pas une impasse, mais un appel à la découverte de nouveaux principes via l'analyse conceptuelle. L'exemple du concept de calcul, caractérisé de manière absolue par la notion de machine de Turing, illustre le type d'analyse conceptuelle que Gödel espérait pour la notion d'ensemble.
Le troisième moment applique ces idées au problème du continu. L'article de Gödel sur le continu identifie deux directions principales : en premier lieu l'introduction d'axiomes de grands cardinaux, relatifs à la question de la hauteur de l'univers des ensembles et en second lieu, la question de la définissabilité, liée à des modèles intérieurs comme L et HOD qui se prononcent plutôt sur la largeur de l'univers. Ces deux pistes, parfois difficiles à articuler, structurent encore les recherches actuelles.
Le quatrième moment analyse la découverte de Cohen : la méthode du forcing. Celle-ci établit que l'HC est indécidable dans ZFC et offre un outil puissant de construction de modèles. Certains y voient l'émergence d'un multivers ensembliste ; d'autres maintiennent l'idée d'un univers unique. Fidèle à Gödel, le mémoire défend l'idée que le forcing, loin d'imposer un relativisme, doit être compris comme un progrès technique compatible avec la quête d'une vérité absolue.
Enfin, le cinquième moment examine la mise en œuvre contemporaine du Programme de Gödel. Trois familles d'axiomes sont discutées : les grands cardinaux, dont la portée semble insuffisante pour trancher l'HC ; les axiomes de forcing, qui conduisent à réfuter l'HC, mais dont la justification reste controversée ; et le programme des modèles intérieurs (Woodin, V = Ultimate-L), qui offrirait, s'il réussissait, une démonstration de l'HC et une clarification globale du concept d'ensemble.
Ainsi, l'HC apparaît non seulement comme un symptôme des limites de nos systèmes actuels, mais aussi comme un moteur de progrès conceptuels. En replaçant les débats contemporains dans le cadre gödelien, la thèse défend l'idée que la réflexion philosophique conserve une fonction heuristique essentielle : elle éclaire le rôle des nouveaux axiomes et contribue à orienter la recherche vers une compréhension plus profonde de la vérité mathématique.
Thesis resume
This dissertation explores the Continuum Hypothesis (CH) through the philosophy of Kurt Gödel and in dialogue with recent developments in set theory. CH, formulated by Cantor, asserts that there is no cardinal strictly between the countable infinity and the continuum. Since Gödel and later Cohen proved the consistency of CH and of its negation with the usual axioms of ZFC, its undecidability has given it a distinctive epistemological status. The aim here is to analyze the epistemological significance of this situation, adopting an interdisciplinary approach at the crossroads of mathematics and philosophy.
The first part situates set theory within the debate on the foundations. While ZFC provides the common language of nearly all of mathematics, it also reveals irreducible limitations. The examination of alternatives (class theories, category theory) leads us to reconsider the philosophical framework for analyzing foundations. Our stance is critical toward naturalism (Quine, Maddy), which reduces philosophy to a mere description of scientific practice. By contrast, we argue for the importance of metaphysical issues, especially when they demonstrate the heuristic fertility of philosophical positions for mathematical research.
The second part is devoted to Gödel's conceptual realism. He maintained that concepts exist independently of the language and objects to which they apply. To this realism Gödel added a rationalist optimism: every well-posed question admits a solution, provided that the appropriate axioms are discovered. Thus, the incompleteness theorems do not mark a dead end, but rather a call to the discovery of new principles via conceptual analysis. The example of the concept of computation, captured in an absolute way by the notion of Turing machine, illustrates the kind of conceptual analysis Gödel hoped to extend to the notion of set.
The third part applies these ideas to the continuum problem. Gödel's 1947 article identifies two main directions: first, the introduction of large cardinal axioms, concerning the height of the set-theoretic universe; and second, the issue of definability, linked to inner models such as L and HOD, which concern rather the width of the universe. These two lines of inquiry, sometimes difficult to reconcile, continue to structure current research.
The fourth part analyzes Cohen's discovery: the forcing method. This established that CH is undecidable in ZFC and provided a powerful tool for constructing models. Some interpret this as the emergence of a set-theoretic multiverse; others uphold the idea of a unique universe. Faithful to Gödel, this dissertation argues that forcing, far from imposing relativism, should be understood as a technical advance compatible with the pursuit of absolute truth.
Finally, the fifth part examines the contemporary implementation of Gödel's Programme. Three families of axioms are discussed: large cardinals, whose scope appears insufficient to settle CH; forcing axioms, which refute CH, though their justification remains controversial; and the inner model programme (Woodin, V = Ultimate-L), which, if successful, would provide a proof of CH and a global clarification of the concept of set.
Thus, CH appears not only as a symptom of the limits of our current systems, but also as a driver of conceptual progress. By reframing contemporary debates within Gödel's perspective, the dissertation defends the idea that philosophical reflection retains an essential heuristic role: it sheds light on the status of new axioms and helps to orient research toward a deeper understanding of mathematical truth.