Soutenance de thèse de Noémie COMBE

Cette thèse concerne principalement deux objets classiques étroitement liés: d'une part la variété des polynômes complexes unitaires de degré d>1 à une variable, et à racines simples (donc de discriminant différent de zéro), et d'autre part, les groupes de tresses d'Artin avec d brins ainsi que leurs sous-groupes colorés. Le travail présenté dans cette thèse propose une nouvelle approche permettant des calculs cohomologiques explicites à coefficients dans n'importe quel faisceau. On montre, entre autres choses, qu'à partir de la nouvelle stratification de l'espace des polynômes introduite dans cette thèse, la monodromie se lit de manière transparente. En vue de calculs cohomologiques explicites, il est souhaitable d'avoir à sa disposition un bon recouvrement au sens de Cech. L'un des principaux objectifs de cette thèse est de construire un tel recouvrement basé sur des graphes qui rappellent les `dessins d'enfant' et qui sont associées aux polynômes complexes classifiés par l'espace de polynômes. Plus précisément, ce graphe décoré proprement plongé dans le plan complexe (appelé signature) est défini comme l'image inverse de la réunion des axes réel et imaginaire. Cette décomposition de l'espace de polynômes fournit une stratification semi-algébrique où la strate générique (ouverte) est formée de l'ensemble des polynômes pour lesquels 0 est valeure régulière sur la restriction à l'union des deux axes (réel et imaginaire), la strate suivante, de codimension 1, est formée de l'ensemble des polynômes ayant exactement un point critique sur l'union des deux axes. De même la strate de codimension (complexe) $k$ ($0le kle d-1$) correspond aux polynômes ayant $k$ points critiques sur la réunion des axes. Le nombre de composantes connexes de chaque strate est calculé dans le dernier chapitre ce cette thèse. Nous établissons l’existence d’une bijection entre les composantes connexes de la strate générique et un couplage de mots de Birman-Ko-Lee. Néanmoins, cette partition ne fournit pas immédiatement un recouvrement adapté au calcul de la cohomologie de Cech (avec n'importe quels coefficients) pour deux raisons liées et évidentes: d'une part les sous-ensembles du recouvrement ne sont pas ouverts, et de plus ils sont disjoints puisqu'ils correspondent à différentes signatures. Dans le but de construire un recouvrement convenable pour le calcul de la cohomologie de Cech, nous allons d'abord construire, à partir de la stratification un complexe dont les $k$-faces sont en bijection avec les signatures de codimension $k$, et les relations sont décrites ci-dessous: deux signatures de même codimension sont dites adjacentes s'il existe une déformation élémentaire de l'une à l'autre, représentée par un mouvement de Whitehead. Nous montrons en particulier que le complexe polyédral admet un groupe de symétries diédral et que ce complexe polyédral définira par la suite le nerf associé au recouvrement. L'objectif principal du chapitre 6 est de ``corriger'' le recouvrement de départ afin de le transformer en un bon recouvrement ouvert, adapté au calcul de la cohomologie Cech. Les principaux outils sont le thoérème de triangulation de Lojasiewicz et la double subdivision barycentrique. On vérifie explicitement qu’il existe un recouvrement ouvert de l’espace des polynômes complexes, dont toutes les intersections multiples sont contractiles. Concernant le calcul des groupes de cohomologie on remarque que les matrices associés aux opérateurs cobord sont diagonales par blocs et ces derniers sont bloc circulants. Ce type de matrice possèdant l'avantage d'avoir des propriétés bien connues il devient facile de calculer les noyaux de ces opérateurs cobord. Quant à leurs images, ce sont les propriétés des ouverts associés aux structures invariantes qui permettent d'apporter une conclusion. Ceci permet un calcul explicite des groupes de cohomologie de Cech à valeurs dans un faisceau quelconque.

This thesis mainly concerns two closely related classical objects: on the one hand the space of unitary complex polynomials of degree d> 1 in one variable, and with simple roots (hence of discriminant different from zero), and on the other hand, the Artin braid groups with d strands as well as the colored braid group. The work presented in this thesis proposes a new approach allowing explicit cohomological calculations with coefficients in any sheaf. It is shown, among other things, that from the new stratification of the space of polynomials introduced in this thesis, the monodromy is read in a transparent way. For explicit cohomological calculations, it is desirable to have at ones disposal a good cover in the sense of Cech. One of the main objectives of this thesis is to construct such a covering based on embedded graphs in the complex plane reminiscent of the « dessins d’enfants » and which are associated to the complex polynomials. More precisely, this decorated graph properly embedded in the complex plane (called signature) is defined as the inverse image by the polynomial of the union of the real and imaginary axes. This decomposition of the polynomial space provides a semi-algebraic stratification where the generic (open) stratum is formed of the set of polynomials for which 0 is regular on the union restriction of the two axes (real and imaginary), the next stratum, of codimension 1, is formed of the set polynomials having exactly one critical point on the union of the two axes. Likewise the codimension stratum (complex) k ( where 0 < k

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