Soutenance de thèse de MATHIEN Joffrey

Résumé de la thèse

Depuis plus d'un demi-siècle, les surfaces hyperboliques suscitent un vif intérêt de la part des géomètres. Bien que de nombreux progrès aient été réalisés dans ce domaine, il a fallu attendre jusqu'à il y a environ vingt ans avant que ne surgisse et ne se généralise une approche probabiliste permettant de répondre à des questions qui semblaient jusqu'alors hors d'atteinte. Cette approche, qui a connu un essor considérable depuis, s'est avérée extrêmement productive, conduisant au développement de nombreux modèles aléatoires.
Cela permet, en particulier, de mettre en lumière et d'exploiter plus facilement les liens et similarités avec la théorie des graphes aléatoires dans l'asymptotique du grand nombre de sommets. Cette thèse s'inscrit dans cette lignée: à partir de résultats marquants sur les graphes dans l'asymptotique du grand nombre de sommets, nous montrons des phénomènes similaires pour les surfaces hyperboliques dans l'asymptotique du grand genre.
Dans un premier temps, nous étudions le diamètre des surfaces hyperboliques. Cette mesure fondamentale de la géométrie de la surface permet de déterminer des informations relatives à sa connectivité. Bien qu'il soit connu que le comportement typique du diamètre d'une surface hyperbolique soit logarithmique en le genre de la surface, la question de savoir si une surface typique a un diamètre aussi petit que possible reste ouverte. Nous proposons un modèle simplifié de surfaces hyperboliques aléatoires, fondé sur la décomposition en pantalons d'une surface hyperbolique, qui étend naturellement un modèle précédent introduit pour construire des surfaces de diamètre minimal. Nous calculons précisément l'asymptotique du diamètre de ces surfaces, qui est logarithmique en leur genre. La preuve s'articule autour de l'utilisation de techniques de sous-additivité et de concentration de la mesure pour étudier un processus d'exploration inspiré de l'exploration en largeur pour les graphes.
Dans un second temps, nous nous appuyons sur les relations entre marches aléatoires sur des graphes et la théorie spectrale du Laplacien afin d'étudier un phénomène similaire sur des variétés hyperboliques. Nous étudions un processus basé sur le parcours de courbes géodésiques sur ces variétés, et montrons un phénomène de cutoff, c'est-à-dire de convergence abrupte vers l'équilibre, dans des contextes variés. Cette étude permet aussi d'étendre en dimension quelconque des résultats antérieurs à propos du mouvement brownien sur des surfaces. Ce travail s'appuie sur des méthodes spectrales introduites par Lubetzky et Peres pour l'étude des graphes de Ramanujan, ainsi que sur une analyse spectrale détaillée de l'opérateur de moyenne sphérique.