Soutenance de thèse de Juliana RESTREPO VELASQUEZ

Dans ce travail de thèse, on s'intéresse à la géométrie des variétés algébriques qui apparaissent comme résolutions minimales de quotients du produit de courbes par l’action d’un groupe fini. On étudie alors la positivité de leur fibré cotangent, en raison de ses nombreuses implications géométriques et les informations importantes qui peuvent être obtenues pour aborder certains problèmes difficiles comme la résolution des célèbres conjectures de Lang, Lang-Vojta et Green-Griffiths-Lang qui donnent en particulier de fortes contraintes sur la distribution des courbes rationnelles dans les variétés de type général. Dans le cas de la dimension deux, on donne un critère de positivité du fibré cotangent et l'on étudie l’hyperbolicité algébrique des surfaces produit-quotient. Ces résultats s'appliquent aux cas des surfaces produit-quotient de type général avec genre géométrique, irrégularité et second nombre de Segre nuls, pour lesquelles on démontre des versions effectives des conjectures mentionnées ci-dessus. Plus généralement, en dimension supérieure, on obtient aussi un critère de positivité du fibré cotangent dans le cas de quotients lisses et l’on étudie en détail le cas des produits symétriques de courbes.

In this thesis, we are interested in the geometry of algebraic varieties that appear as minimal resolutions of quotients of the product of curves by the action of a finite group. We then study the positivity of their cotangent bundle because of its many geometric implications and the valuable and useful information that can be obtained in order to approach some difficult problems such as the famous conjectures of Lang, Lang-Vojta and Green-Griffiths-Lang which in particular give strong constraints on the distribution of the rational curves in varieties of general type. In the case of dimension two, we give a criterion for the positivity of the cotangent bundle and we study the algebraic hyperbolicity of product-quotient surfaces. These results apply to the case of product-quotient surfaces of general type with geometric genus, irregularity and second Segre number equal to zero, for which we prove effective versions of the conjectures mentioned above. More generally, in higher dimension, we obtain a criterion for the positivity of the cotangent bundle in the case of smooth quotients and we study in detail the case of the symmetric products of curves.