Soutenance de thèse de BOOS Arthur
Titre de thèse
Cisaillement képlérien :
Approche par l'analyse de Fourier ou le mélange faible
Keplerian shear:
Fourier analysis or weak mixing approach
Résumé de la thèse
Dans cette thèse nous étudions le cisaillement képlérien, une notion de mélange pertinente
dans les systèmes dynamiques non ergodiques, formalisée par Damien Thomine. Cette propriété
consiste à vérifier si pour tout observable f, la suite de terme f ◦ T^n converge faiblement vers
l'espérance conditionnelle selon la tribu des invariants d'un système dynamique (X, T, μ).
Dans la première partie de la thèse, il est question de travailler dans des systèmes singuliers
localement affines. Il s'agit de systèmes compatibles avec la transformation de Fourier qui nous
permet de caractériser de façon équivalente le cisaillement képlérien par la propriété de Rajchman
d'une mesure image du système.
Dans la seconde partie, nous considérons une famille d'applications de Chacon, en choisissant
selon un aléa le nombre de spacers à chaque étape de la construction de la tour de Rochlin.
Chaque application est faiblement mélangeante. Le cisaillement képlérien se base sur les temps
de mélange et se ramène après plusieurs réductions à un théorème limite local pour des sommes
de Birkhoff non stationnaires.
Thesis resume
In this thesis, we study Keplerian shear, a relevant mixing notion
in non-ergodic dynamical systems, formalized by Damien Thomine. This property
consists in verifying whether for any observable f, the sequence of terms f ◦ T^n converges weakly to
the conditional expectation according to the σ-algebra of invariants sets of a dynamical system (X, T, μ).
In the first part of the thesis, we work in singular systems
locally affine systems. These are systems that are compatible with the Fourier transform, which
equivalent characterization of Keplerian shear by the Rajchman property of an image measure of the system.
property of a push-forward measure of the system.
In the second part, we consider a family of Chacon applications, choosing
the number of spacers at each stage of the Rochlin tower construction.
Each application is weakly mixing. Keplerian shear is based on mixing times
after several reductions to a local limit theorem for non-stationary Birkhoff sums.