Soutenance de thèse de Jean-Marie CABRERA

Le présent travail est une contribution à la K-théorie bivariante des C*-algèbres au sens de Kasparov, et en particulier a sa version equivariante. Un rôle clé dans cette théorie est joué par l'élément "gamma" de Kasparov, une sorte de classe fondamentale équivariante d'un groupe localement compact. On s'intéresse à la représenter par des K-cycles (modules de Fredholm) possédant de bonnes propriétés. Dans cette thèse on donne une nouvelle construction de tels K-cycles pour les groupes hyperboliques au sens de Gromov. Les modules de Fredholm obtenus sont finiment sommables, i.e. ils possèdent une propriété de régularité particulièrement forte. On donne aussi une majoration de leur degré minimal de sommabilité. On s'inspire des travaux de V. Lafforgue: les K-cycles considérés sont similaires à ceux utilisés par Lafforgue dans sa démonstration de la Conjecture de Baum-Connes à coefficients pour les groupes hyper- boliques. Leur construction est basée sur les idées de Mineyev sur les "bicombings homologiques" des groupes hyperboliques et procède par récurrence sur les squelettes d'un complexe de Rips associé au groupe. Une preuve non-constructive de la sommabilité finie d'un élément "gamma " a été obtenue par Emerson et Nica pour les groupes hyperboliques a caractéristique d'Euler-Poincaré zéro. Des constructions explicites de K-cycles représentant l'élément "gamma" d'un groupe hyperbolique ont été données par Kasparov-Skandalis et V. Lafforgue, mais on ne sait pas si leurs modules sont finiment sommables. En général, on ne peut pas espérer de trouver des éléments "gamma" finiment sommables pour d'autres classes de groupes discrets.

The work submitted here is a contribution to the bivariant K-theory of C*-algebras in Kasparov’s sense and in particular its equivariant version. In this theory, a key role is played by Kasparov’s “gamma”, a type of fundamental equivariant class of a locally compact group. We aim to represent it by K-cycles (Fredholm modules) presenting better properties. In this thesis, we present a new construction of such K-cycles for hyperbolic groups in Gromov’s sense. The Fredholm modules obtained are finitely summable i.e. they possess particularly strong regularity properties. We also assign a majoration to their minimal degree of summability. We follow the works of V. Lafforgue: the K-cycles under consideration are similar to those used by Lafforgue in his demonstration of Baum-Connes conjecture with coefficients for hyperbolic groups. Their construction is based on Mineyev’s ideas on homological bicombings and it proceeds by recurrence on the skeleton graphs of a Rips complex associated to the group. A non-constructive proof of the finite summablity of a “gamma” element was established by Emerson and Nica for the hyperbolic groups with a Euler-Poincaré characteristic wich equals zero. Explicit constructions of K-cycles representing the “gamma” element of a hyperbolic group were given by Kasparov-Skandalis and V. Lafforgue, but we do not know whether their modules are finitely summable. In general, we can not hope to find finitely summable “gamma” elements for other classes of discrete groups.