Soutenance de thèse de LIN Yu-Hsi
Titre de thèse
Modèles d'ondes longues de fluides parfaits
Long waves models of ideal fluids
Résumé de la thèse
Dans le chapitre 1, les équations de modulation de l'équation Benjamin-BonaMahony (BBM) sont étudiées. La frontière de stabilité des équations de modulation est dérivée. Approximativement, lorsque le nombre d'onde adimensionnel est k > sqrt(3), le système d'équations de Whitham n'est pas hyperbolique.
Au chapitre 2, une étude mathématique et numérique d'un écoulement bicouche décrit par les équations de Benney est présentée. Le système est hyperbolique même si l'énergie totale n'est pas convexe. Les invariants de Riemann pour ce système peuvent être dérivés explicitement. L'étude des champs de direction propres a été réalisée. Deux champs de direction propres correspondant aux ondes de surface rapides et lentes sont vraiment non-linéaires au sens de Lax. Le troisième champ de direction propre, correspondant au transport de vorticité, n'est ni vraiment non-linéaire, ni linéairement dégénéré au sens de Lax. La région où tous les champs de direction propres sont vraiment non-linéaires est déterminée, dans laquelle l'inégalité « d'entropie » garantit la stabilité d'un choc pour tous les champs. Cependant, lorsque le troisième champ de direction propre n'est ni vraiment nonlinéaire, ni linéairement dégénéré, on peut avoir un choc stable même si l'entropie mathématique augmente au cours du choc.
Au chapitre 3, les équations d'Euler sont formulées en coordonnées semi-Lagrangiennes. Une condition limite de pression sur le fond du domaine dépendant de la courbure du fond est dérivée. Un schéma numérique perspectif est proposé et testé dans le cas d'une onde longue non-linéaire périodique se propageant dans une profondeur d'eau uniforme.
Thesis resume
In Chapter 1, the modulation equations of the BBM equation are studied. The boundary of modulational stability is derived. Approximately, when the wave number is k > sqrt(3), the system is modulationally unstable.
In Chapter 2, a study of a two-layer flow described by the Benney equations is presented. The system is hyperbolic even though the total energy is not convex. The Riemann invariants for this system can be derived explicitly. The study of the eigenfields has been done. Two eigenfields corresponding to the fast and slow surface waves are genuinely nonlinear in the sense of Lax. The third eigenfield corresponding to the vorticity transport is neither genuinely nonlinear nor linear degenerate in the sense of Lax. The region where all eigenfields are genuinely nonlinear is found, in which the "entropy" inequality guarantees the stability of a shock for all fields. However, when the third eigenfield is neither genuinely nonlinear nor linear degenerate, one can have a stable shock even when the mathematical "entropy" increases through the shock.
In Chapter 3, the Euler equations are formulated in semi-Lagrangian coordinates. A curvature-dependent bottom boundary condition for pressure is derived. A perspective numerical scheme is proposed and tested in the case of a nonlinear long periodic wave propagating in uniform water depth.