Soutenance de thèse de ROTH Marie

Résumé de la thèse

L'objet de cette thèse est l'étude des groupes réductifs finis et plus particulièrement de leurs représentations modulaires en caractéristique transverse.
En 1990, Geck a énoncé une conjecture portant sur l'unitriangularité des matrices de décomposition de ces groupes. Les matrices de décomposition encodent le passage des représentations irréductibles dites ordinaires (sur un corps de caractéristique nulle) aux représentations modulaires (sur un corps de caractéristique positive un nombre premier ℓ). En 2020, Brunat–Dudas–Taylor ont démontré cette conjecture dans le cas des blocs unipotents pour un ℓ très bon avec l'introduction des caractères de Kawanaka. Grâce à l'équivalence de Morita entre les blocs unipotents et les blocs non-isolés, Feng--Späth ont étendu ce résultat aux blocs non-isolés en 2021. Le but de cette thèse est d'étudier des généralisations possibles du théorème de Brunat–Dudas–Taylor.
Dans un premier temps, on étend ce résultat pour ℓ mauvais dans le cas des groupes adjoints simples pour les blocs unipotents. En s'inspirant de la méthode de Brunat-Dudas–Taylor, on étudie la décomposition de certains caractères de Kawanaka. Pour ce faire, nous calculons les valeurs des fonctions caractéristiques des faisceaux caractères sur des classes de conjugaison mixtes. On se base sur les travaux de Lusztig.
Dans un second temps, on généralise la méthode obtenue afin d'étudier l'unitriangularité des blocs isolés pour les groupes exceptionnels de type adjoint. Nous traitons les cas des groupes simples adjoints de type G2 et F4.