Soutenance de thèse de HUBERT Léo
Titre de thèse
Correspondances de Dold-Kan homotopiques
Homotopical Dold-Kan correspondences
Résumé de la thèse
Ce travail trouve son origine dans les chapitres V et VII du manuscrit
de Grothendieck Pursuing Stacks, qui contiennent une série de questions ainsi qu'un
formalisme jusqu'ici resté inexploré, concernant l'interaction entre la notion de catégorie
test et l'homologie.
L'objectif principal de cette thèse est d'exhiber, dans le cadre des catégories test,
des correspondances de Dold-Kan homotopiques. Plus précisément, on introduit, selon
Grothendieck, un foncteur généralisant le foncteur d'homologie simpliciale, associant aux
préfaisceaux en groupes abéliens sur une petite catégorie quelconque un type d'homologie,
c'est-à-dire un élément de la catégorie dérivée des groupes abéliens en degré homologique
positif. On cherche alors des conditions pour que ce foncteur induise une équivalence de
catégories, après localisation par la classe des morphismes dont l'image dans la catégorie
dérivée est un isomorphisme.
En général, il existe une seconde classe d'équivalences faibles, issue de la théorie des
catégories test, sur la catégorie des préfaisceaux abéliens, et on appelle catégories de
Whitehead les petites catégories pour lesquelles les deux classes coïncident, généralisant
ainsi le cas de ∆. On montre que des exemples importants de catégories test sont de
Whitehead, notamment la catégorie Θ de Joyal. On construit, pour toute catégorie test
locale de Whitehead, une structure de catégorie de modèles sur sa catégorie des préfaisceaux abéliens munie des équivalences faibles évoquées ci-dessus. On démontre alors
que pour toute catégorie test de Whitehead, le foncteur d'homologie induit bien une
équivalence entre les catégories localisées. On obtient ainsi de nombreux exemples de
correspondances de Dold-Kan homotopiques incluant, entre autres, la catégorie Θ.
Thesis resume
This work originates from chapters V and VII of Grothendieck's manuscript
Pursuing Stacks, which contains a series of questions, as well as a previously unexplored
formalism, concerning the interactions between the notion of test categories and homology.
The main objective of this thesis is to exhibit homotopical Dold-Kan correspondences
in the context of test categories. More precisely, we introduce, following Grothendieck,
a functor generalizing simplicial homology, from the category of abelian presheaves over
any small category to the derived category of abelian groups in non-negative homological
degree. We then look for conditions ensuring that this functor induces an equivalence
of categories, after localization by the class of morphisms whose image in the derived
category is an isomorphism.
Generally, there exists a second class of weak equivalences, arising from the theory of
test categories, on the category of abelian presheaves, and we call Whitehead categories
those small categories for which these two classes coincide, generalizing the case of ∆. We
show that important examples of test categories are Whitehead categories, notably Joyal's
category Θ. We construct, for any Whitehead local test category, a model category structure on its category of abelian presheaves with the weak equivalences mentioned above.
We then prove that for any Whitehead test category, the homology functor does induce
an equivalence between the localized categories. We obtain this way many examples of
homotopical Dold-Kan correspondences, including, among others, the category Θ.