Soutenance de thèse de FATOU Martin
Titre de thèse
Sur l'induction automorphe pour GL(n)
On automorphic induction for GL(n)
Résumé de la thèse
Soient F une extension finie de Qp, E une extension cyclique de F — ou plus généralement
une F-algèbre cyclique — de degré fini d et κ un caractère de F× de noyau
F×NE/F(E×). On fixe aussi un entier m ≥ 1. On prouve que toute représentation (complexe,
lisse) irréductible unitaire de GLm(E) admet un “κ-relèvement” à GLmd(F) déterminé
par une identités de caractères. Observons que ce résultat était connu pour
les représentations irréductibles unitaires génériques mais est nouveau pour celles qui
ne sont pas génériques. Soient maintenant E/F une extension cyclique de corps de
nombres de degré fini d et K un caractère de A×
F de noyau F×NE/F(A×
E). On prouve
que toute représentation automorphe discrète τ de GLm(AE) admet une induite automorphe
π à GLmd(AF) — caractérisée par le fait qu'en presque toute place finie v
de F, πv est l'induite automorphe de τv au sens de la correspondance de Langlands
non ramifiée —, qui est l'induite parabolique (irréductible, K-stable) d'une représentation
automorphe discrète d'un sous-groupe de Levi de GLmd(AF). On décrit l'image
et les fibres de cette application d'induction automorphe globale et on prouve qu'en
toute place finie v de F, elle est compatible à l'application de Kv-relèvement locale ;
d'ailleurs cette compatibilité est aussi vraie aux places archimédiennes. Observons que
ces résultats étaient connus pour les représentations automorphes cuspidales mais sont
nouveaux pour les représentations résiduelles. Comme dans le cas du changement de
base, on obtient ces résultats par la méthode locale-globale et l'égalité entre les parties
discrètes de deux formules des traces, l'une (ordinaire) pour GLm(AE) et l'autre
(K-tordue) pour GLmd(AF) ; égalité qui n'est autre que la stabilisation de la partie
discrète de la formule des traces pour (GLmd/F,K) établie par Moeglin-Waldspurger.
En effet ResE/F(GLm/E) est à isomorphisme près l'unique groupe endoscopique elliptique
de (GLmd/F,K). Indépendamment de ces résultats, on prouve aussi de manière
purement locale que toute représentation irréductible elliptique de GLm(E) admet un
κ-relèvement à GLmd(F).
Thesis resume
Let F be a finite extension of Qp, E a cyclic extension of F – or more generally a cyclic F-algebra- of finite degree and κ a character of F* of kernel F×NE/F(E×). We fiw an integer m ≥ 1. We prove that all unitary irreducible representation (smooth, complex) of GLm(E) has a « κ-lift » to GLmd(F) determined by a character identity. This result was known for generic unitary irreducible representations and it is new for the ones who are not generic.
Let now be E/F a cyclic extension of numbers fields of finite degree d and K a character of A× F of kernel F×NE/F(A× E). We prove that all discrete automorphic representation τ of GLm(AE) admits an automorphic induced π to GLmd(AF) - characterised by the fact that in almost all finite places v of F, πv is the automorphic induced of τv in the sense of the unramified Langlands correspondence -, which is the parabolic induced (irreducible, K-stable) of a discrete automorphic representation of a Levi subgroup of GLmd(AF). We describe the image and the fibers of this application of global automorphic induction and we prove that in almost all finite place v of F, it is compatible with the application of local Kv-lift. Let observe that these results were known for cuspidal automorphic represention, they are new for residual representations. As for the case of base change, we get these results by the local-global method ans the equality between the discrete parts of two trace formulas, one (ordinary) for GLm(AE), the other (K-twisted) for GLmd(AF); equality which is the stabilisation of discrete part of trace formula for (GLmd/F,K) established by Mœglin-Waldspurger. Independantly, we prove, by a pure local method, that all elliptic irreducible representation of GLm(E) has a κ-lift to GLmd(F).