Ecole Doctorale
Mathématiques et Informatique de Marseille
Spécialité
Mathématiques
Etablissement
Aix-Marseille Université
Mots Clés
contrôle des EDP,EDP paraboliques,analyse numérique,,
Keywords
control of PDE,parabolic PDE,numerical analysis,,
Titre de thèse
Étude spectrale dopérateurs de Sturm-Liouville et applications à la contrôlabilité de problèmes paraboliques discrets et continus.
Spectral theory of Sturm-Liouville operators and applications in controllability of discretized and continuous parabolic problems.
Date
Mercredi 26 Septembre 2018 à 13:30
Adresse
Institut de Mathématiques de Marseille (I2M), UMR 7373.
Centre de Mathématiques et Informatique (CMI).
Technopôle de Château-Gombert.
39, rue F. Joliot Curie
13453 Marseille Cedex 13 Salle de séminaire
Jury
Directeur de these |
M. Franck BOYER |
Université Paul Sabatier |
Rapporteur |
M. Enrique FERNANDEZ-CARA |
Universidad de Sevilla |
Rapporteur |
M. Yannick PRIVAT |
Université Pierre et Marie Curie (Paris 6) |
CoDirecteur de these |
M. Morgan MORANCEY |
Université d'Aix-Marseille |
Examinateur |
M. Otared KAVIAN |
Université de Versailles |
Examinateur |
Mme Assia BENABDALLAH |
Université d'Aix-Marseille |
Examinateur |
Mme Karine BEAUCHARD |
ENS Rennes |
Examinateur |
M. Nicolae CINDEA |
Université Clermont Auvergne, Clermont-Ferrand, France |
Résumé de la thèse
Dans cette thèse, nous étudions la contrôlabilité à zéro de quelques systèmes paraboliques continus et semi-discrétisés.
Nous considérons tout dabord des systèmes en cascade déquations paraboliques de la forme partial_t -(partial_x gamma partial_x + q). La variable spatiale évolue dans un intervalle réel borné et ce système est semi-discrétisé en espace par un schéma aux différences finies. En appliquant la méthode des moments,nous démontrons des résultats de contrôlabilité à zéro et de phi(h) contrôlabilité à zéro, suivant les hypothèses formulées sur le maillage et les fonctions gamma et q. Puis nous étendons ces résultats lorsque la variable despace évolue dans un domaine cylindrique, la zone de contrôle se situant dans une partie dune section au bord du cylindre. Ce domaine cylindrique se décompose en un produit de deux espaces. Sur le premier, de dimension 1, nous appliquons les résultats décrits précédemment. Sur le second, nous appliquons la méthode de Lebeau-Robbiano. Cette approche permet à la fois de montrer que le problème discrétisé est phi(h) contrôlable à zéro et de retrouver un résultat de contrôlabilité à zéro sur le système continu.
Dans une autre partie, nous nous intéressons au temps minimal de contrôle à zéro de léquation de Grushin posée sur un domaine rectangulaire dont le domaine de contrôle est une bande verticale.
Létude se ramène à une infinité dénombrable, indexée par le paramètre de Fourier n, de problèmes de contrôle à zéro déquations paraboliques, traitée, ici encore, à laide de la méthode des moments.
Cette dernière requiert des estimations précises sur le spectre dopérateurs de Sturm-Liouville. Nous établissons, dune part, des minorations sur certaines quantités dépendant des fonctions propres de ces opérateurs et nous étudions dautre part la propriété de gap de leurs valeurs propres. Pour appliquer la méthode des moments aux différents problèmes de contrôle présentés tout au long de ce mémoire, il est alors crucial que ces estimations soient uniformes tantôt en le paramètre de discrétisation tantôt en le paramètre n. La théorie spectrale de ces opérateurs constitue donc la clef de voûte de cette thèse.
Les résultats présents dans ce mémoire sont illustrés et complétés par des calculs numériques, basés sur la méthode HUM.
Thesis resume
In this thesis, we study the null controllability of some continous and semi discretized parabolic systems.
We first consider cascade systems of parabolic equations of the form partial_t -(partial_x gamma partial_x + q). The space variable belongs to a real and bounded interval and this system is semi-discretized in space by a finite differences scheme. Applying the so called moments method, we prove null controllability and phi(h) null controllability results, depending on the hypotheses on the mesh and on functions gamma and q. Then, we extend this results when the space variable belongs to a cylindrical domain which control zone is in a section at the border of the cylinder. This cylindrical domain is decomposed into a product of two spaces. On the first, of dimension 1, we apply the results described previously. On the second, we use the Lebeau-Robbianos procedure. In this framework, we prove phi(h) null controllability results on the discretized domain as well as null ontrollability results on the continous problem.
In another section, we investigate the computation of minimal time of null controllability of Grushins equation defined on a rectangular domain which control region is a vertical strip. This problem of control amounts to study a countably infinite family, indexed by the Fourier parameter n, of null control problems of parabolic equations, tackled, once again, with the moments method.
The latter requires precise estimates on the spectrum of Sturm-Liouville operators. We prove lower bounds on quantities depending on the eigenfunctions of these operators and we study the gap property of their eigenvalues. To tackle control problems addressed in this manuscript, it is crucial that our estimates are uniform with respect to the discretization parameter or the parameter n. Spectral theory of these operators is therefore the keystone of this thesis.
Our results are illustrated and complemented by numerical simulations, based on the HUM approach.