Soutenance de thèse de Vladimiro BENEDETTI

Le but de cette thèse est de construire des nouvelles variétés algébriques complexes de Fano ou avec fibré canonique trivial intéressantes et d’en étudier la géométrie. Le contexte des espaces homogènes est particulièrement convenable pour ce but, comme le démontre le travail de Mukai sur les variétés de Fano de dimension trois. Dans la première partie on construit des variétés spéciales comme lieux de zéros de fibrés homogènes sur des grassmanniennes (ordinaires, classiques et exceptionnelles). On donne une classification complète des variétés de dimension quatre quand le fibré est complètement réductible. De cette manière, on peut prouver que les seules variétés de dimension quatre ainsi construites qui sont aussi des variétés hyper-kählériennes, sont les familles construites par Beauville et Donagi et par Debarre et Voisin respectivement. On montre aussi que le même résultat vaut en toute dimension dans les grassmanniennes ordinaires, quand le fibré est supposé irréductible. Parmi les exemples qu’on obtient, on étudie certaines familles de dimension dix-huit de surfaces K3; de plus on décrit un plongement de la grassmannienne Gr(3,6) dans OGr(6,12) qui explique une coincidence entre les diamants de Hodge de deux variétés de Calabi-Yau de dimension trois obtenues dans la classification. Dans la deuxième partie on utilise une construction différente pour obtenir des variétés spéciales: celle des lieux de dégénérescence orbitaux (ODL en abrégé). Les ODL sont des généralisations des lieux de zéros et des lieux de dégénérescence classiques de morphismes entre fibrés vectoriels. Ils sont construits à partir d’un modèle, qui est une sous-variété G-invariante Y d’une représentation d’un groupe algébrique G. On rappelle la définition d’un ODL, et ses propriétés fondamentales: l’existence, sous des hypothèses raisonnables sur Y, d’une désingularisation et d’une résolution localement libre de son idéal. Comme illustration de ces techniques, on construit trois schémas d’Hilbert de deux points sur une surface K3 comme des lieux classiques, et on les réinterprète comme lieux de dégénérescence orbitaux. De plus, on montre qu’on est capable de construire de nombreuses familles de variétés de Calabi-Yau et de Fano de dimension trois et quatre en utilisant les ODL, et de calculer leurs invariants. On montre en particulier comment calculer les nombres de Hodge de certaines variétés de Fano de dimension quatre. Puis, on étudie les adhérences d’orbites dans les représentations de carquois, et on décrit des effondrements de Kempf pour celles de type A_n et D_4 . On utilise ces résultats pour décrire les ODL correspondants et leurs désingularisations, et construire davantage d’exemples de variétés spéciales. Dans la dernière partie de la thèse on se concentre sur une classe particulière de variétés de Fano dans les grassmanniennes, appellées grassmanniennes bisymplectiques (et notées I_2Gr(k,2n)). L’un des intérêts de ces variétés vient du fait qu’elles admettent une action d’un tore avec un nombre fini de points fixes. On étudie la condition qui assure la lissité de ces variétés, et on démontre que leur espace de modules est de dimension n−3. Ensuite, on étudie la cohomologie équivariante des grassmanniennes symplectiques, qui se trouve être très utile pour mieux comprendre la cohomologie équivariante des grassmanniennes bisymplectiques. On analyse en détail le cas de I_2Gr(2,6), et on donne une présentation de son anneau de cohomologie. Mots clés : géométrie complexe, géométrie algébrique, espaces homogènes, lieux de dégénérescence, actions de groupes algébriques, groupes classiques, grassmanniennes, fibrés vectoriels, variétés de Fano, variétés de Calabi-Yau, variétés hyper-kählériennes, représentations de carquois

The aim of this thesis is to construct new interesting complex algebraic Fano varieties and varieties with trivial canonical bundle and to analyze their geometry. The context of homogeneous spaces is particularly adapted to this objective, as shown by Mukai’s work on Fano threefolds. In the first part of the thesis we construct special varieties as zero loci of homogeneous vector bundles inside Grassmannians (ordinary, classical and excep- tional). We give a complete classification for such varieties with small dimension when the bundle is completely reducible. We are able to prove that the only fourfolds with trivial canonical bundle so constructed which are hyper-Kähler varieties are those from the families constructed by Beauville and Donagi and by Debarre and Voisin. We also show that the same holds in ordinary Grassmannians and for varieties of any dimension when the bundle is irreducible. Among the examples we find, we study some eighteen dimensional families of K3 surfaces; moreover we describe an embedding of the Grassmannian Gr(3, 6) inside OGr(6, 12), which explains a coincidence between the Hodge diamonds of two Calabi-Yau threefolds from the classification. In the second part we use yet another construction to obtain special subvarieties, that of orbital degeneracy loci (ODL in the following). ODL are a generalization of zero loci and of classical degeneracy loci of morphisms between vector bundles. They are constructed from a model, which is a G-stable subvariety Y of a representation of an algebraic group G. We recall the definition of an ODL, and its fundamental properties: the existence, under reasonable hypothesis on Y , of a resolution of singularities and of a locally free resolution of its ideal. As an illustration of this construction, we construct three Hilbert schemes of two points on a K3 surface as classical degeneracy loci, and we reinterpret them as orbital degeneracy loci. Moreover, we are able to construct many families of Calabi-Yau and Fano threefolds and fourfolds and to compute some of their invariants. For example, we compute the Hodge numbers of some orbital Fano fourfolds. Then we study orbit closures inside quiver representations, and we provide crepant Kempf collapsings for those of type A_n and D_4 . We use these results to describe the corresponding ODL and their desingularizations, and we are thus able to construct more examples of special varieties. In the last part we focus on a particular class of Fano varieties inside Grassmannians, namely bisymplectic Grassmannians (denoted I_2Gr(k, 2n)). The interest of these varieties comes from the fact that they admit an action of a torus with a finite number of fixed points. We study the conditions under which these varieties are smooth, and we prove that their moduli space is of dimension n−3. We then study the equivariant cohomology of symplectic Grassmannians, which turns out to help understanding better the equivariant cohomology of bisymplectic ones. Finally, we analyze in detail the case of I_2Gr(2, 6) and give a presentation of its cohomology ring. Keywords: complex geometry, algebraic geometry, homogeneous spaces, de- generacy loci, algebraic group actions, classical groups, Grassmannians, vector bundles, Fano varieties, Calabi-Yau varieties, hyper-Kähler varieties, quiver representations