Soutenance de thèse de AL CHOUEIRY Nicolas
Titre de thèse
Sur une classe de structures complexes sur les fibrés principaux
On a class of complex structures on principal bundles
Résumé de la thèse
Cette thèse est défiée à une classe de structures complexes sur les fibrés principaux. Soient $H$ un groupe de Lie, $pi:Pto M$ un fibré principal de groupe structural $H$, $alphain A^1_Ad(P,hg)$ une 1-forme tensorielle de type $Ad$ sur $P$ qui satisfait la condition de non-dégénerescence suivante: pour tout $yin P$ l'application linéaire $T_yP/ker(pi_{*y})to hg$ induite par $alpha$ est un isomorphisme. Soit $A$ une connexion sur $P$. En suivant cite{Ze} on définit une structure presque complexe $J^alpha_A$ sur $P$ associée au couple $(alpha,A)$ qui applique la distribution horizontale $Asubset T_P$ sur la distribution verticale $ker(pi_*)subset T_P$ et vice-versa. Le problème d'intégrabilité de $J^alpha_A$ a été résolu dans cite{Ze}: $J^alpha_A$ est intégrable si et seulement si
le couple $(alpha,A)$ satisfait les équations
$$
left{
begin{array}{ccc}
d_Aalpha&=&0
F_A&=&frac{1}{2}[alphawedgealpha].
end{array}right. eqno{(Z)}
$$
Motivé par ce résultat on va appeler "triplet de Zentner" un triplet de la forme $(pi:Pto M,alpha,A)$, où $alphain A^1_Ad(P,hg)$ satisfait la condition de non-dégénerescence ci-dessus et $A$ est une connexion sur $P$ tels que le couple $(alpha,A)$ satisfait les équations d'intégrabilité $(Z)$ de Zentner. Tout triplet de Zentner $(pi:Pto M,alpha,A)$ définit une variéte complexe $(P,J^alpha_A)$ donc la classification des triplets de Zentner est intéressante pour la géométrie complexe, parce qu'elle est reliée à la classification d'une classe très large de variétés complexes.
Le résultat fondamental de cette thèse est un théorème de classification:
Soit $(pi:Pto M,alpha,A)$ un triplet de Zentner tel que $M$ soit simplément connexe et la connexion $nabla_M$ induite par $nabla_A^Ad$ sur $T_M$ via l'isomorphime $T_Mtextmap{beta}Ad(P)$ défini par $alpha$ soit géodésiquement complète. Alors $(pi:Pto M,alpha,A)$ s'identifie au triplet de Zentner associé à un couple $(G,H')$ ou $G$ est un groupe de Lie complexe et $H'subset G$ est une forme réelle de $G$. En particulier, nous avons un isomorphisme $chi:H'textmap{simeq} H$ de groupes de Lie et un biholomorphisme $chi$-équivariant $Psi:Gtextmap{simeq} P$.
Thesis resume
This thesis focuses on a class of complex structures on principal bundles. Let $H$ be a Lie group, $pi: P to M$ a principal bundle with structural group $H$, and $alpha in A^1_Ad(P,hg)$ a 1-tensorial form of type $Ad$ on $P$ which satisfies the following non-degeneracy condition: for all $y in P$, the linear map $T_yP / ker(pi_{*y}) to hg$ induced by $alpha$ is an isomorphism. Let $A$ be a connection on $P$. Following cite{Ze}, we define an almost complex structure $J^alpha_A$ on $P$ associated with the pair $(alpha, A)$, which maps the horizontal distribution $A subset T_P$ to the vertical distribution $ker(pi_*) subset T_P$, and conversely. The integrability problem of $J^alpha_A$ has been solved in cite{Ze}: $J^alpha_A$ is integrable if and only if the pair $(alpha, A)$ satisfies the equations
$$
left{
begin{array}{ccc}
d_Aalpha&=&0
F_A&=&frac{1}{2}[alphawedgealpha].
end{array}right. eqno{(Z)}
$$
Motivated by this result, we will call a "Zentner triplet" a triple of the form $(pi: P to M, alpha, A)$, where $alpha in A^1_Ad(P,hg)$ satisfies the above non-degeneracy condition and $A$ is a connection on $P$ such that the pair $(alpha, A)$ satisfies Zentner's integrability equations $(Z)$.
Any Zentner triple $(pi: P to M, alpha, A)$ defines a complex manifold $(P, J^alpha_A)$, so the classification of Zentner triples is of interest in complex geometry, because it is related to the classification of a very broad class of complex manifolds.
The fundamental result of this thesis is a classification theorem: Let $(pi: P to M, alpha, A)$ be a Zentner triple such that $M$ is simply connected and the connection $nabla_M$, induced by $nabla_A^Ad$ on $T_M$ via the isomorphism $T_M textmap{beta} Ad(P)$ defined by $alpha$, is geodesically complete. Then $(pi: P to M, alpha, A)$ can be identified with the Zentner triple associated with a pair $(G, H')$, where $G$ is a complex Lie group and $H' subset G$ is a real form of $G$. In particular, there is an isomorphism $chi: H' textmap{simeq} H$ of Lie groups and a $chi$-equivariant biholomorphism $Psi: G textmap{simeq} P$.