Soutenance de thèse de Elena DE PAOLI

Le théorème de Noether est l'un des plus beaux piliers de la mécanique classique et de la théorie des champs. Il a permis de démêler une relation entre les symétries et les lois de conservation, et a trouvé des applications dans tous les domaines de la physique. Parmi ses applications, le cas de la relativité générale est probablement l'un des plus subtils. La seule symétrie de la relativité générale est l'invariance sous les transformations de coordonnées, ou difféomorphismes. Mais cela ressemble plus à une symétrie de gauge locale, et comme pour les symétries de gauge locale, une application directe du théorème dit qu'il n'y a pas de charges conservées non triviales. Une analyse plus approfondie montre que si l'on prend correctement en compte les conditions aux limites, il y a des charges non triviales, mais ce ne sont pas des intégrales sur une hypersurface de Cauchy, mais plutôt des intégrales de surface sur les limites bidimensionnelles d'une hypersurface de Cauchy. De telles charges de surface ont joué un rôle clé dans la compréhension de la relativité générale depuis l'analyse Hamiltonienne de l'ADM (Arnowitt-Deser-Misner). Dans la recherche actuelle, ces charges de surface jouent un rôle important dans les applications phénoménologiques : par exemple, les quantités mesurées par LIGO et Virgo, comme la masse et le moment angulaire des trous noirs en coalescence emportés par les ondes gravitationnelles, sont comprises comme des charges de surface. Elles jouent également un rôle dans les développements théoriques: elles décrivent la première loi de la mécanique des trous noirs, entrent dans la description de l'entropie des trous noirs et ont été utilisées pour explorer les résolutions du paradoxe de l'information sur les trous noirs. Il existe actuellement un domaine d'intérêt actif autour des charges, et diverses questions ouvertes, de l'inclusion des multipôles gravitationnels à la compréhension de leur quantification correcte. Une conséquence de l'invariance du difféomorphisme de la théorie est la présence de contraintes de première classe, comme la loi de Gauss dans les théories de gauge. Ces contraintes de première classe limitent le choix des conditions initiales admissibles pour le problème de Cauchy d'une manière non linéaire et très non triviale. C'est un problème qui apparaît très clairement dans la relativité numérique, où il faut mettre en oeuvre les contraintes avec soin et s'assurer que les approximations utilisées par la grille numérique n'introduisent pas de trop fortes violations. De bonnes conditions initiales sont connues pour des solutions très simples, et une solution générale des contraintes est inconnue. Ce fait a une conséquence importante également pour les approches de la gravité quantique. Dans la gravité quantique en boucle par exemple, il y a de l'espace, et des opérateurs géométriques avec des spectres discrets et des propriétés de non-commutativité. Cette image se tient au niveau cinématique, c'est-à-dire avant l'imposition de la version quantique des contraintes du difféorphisme Hamiltonien, et il n'est pas prouvé que la même géométrie quantique décrirait également l'espace physique de Hilbert de la théorie. Une perspective différente du problème peut être obtenue si l'on passe d'un problème de valeur initiale de Cauchy sur une hypersurface spatial à un problème de valeur initiale caractéristique sur une hypersurface nulle. Dans ce cas, on sait depuis les travaux de Sachs dans les années 60 que l'on peut identifier des données sans contraintes. La question est de savoir si ces données sans contrainte peuvent être interprétées en termes de variables de connexion, puis d'appliquer les techniques de gravité quantique en boucle.

Noether's theorem is one of the most beautiful pillars of classical mechanics and field theory. It unravelled a relation between symmetries and conservation laws, and found applications in all domains of physics. Among its applications, the case of general relativity is probably one of the most subtle ones. The only symmetry of general relativity is the invariance under coordinate transformations, or diffeomorphisms. But this is more like a local gauge symmetry, and like for local gauge symmetries, a direct application of the theorem says that there are no non-trivial conserved charges. A more careful analysis shows that if one correctly takes into account the boundary conditions, there are non-trivial charges, but these are not integrals over a Cauchy hypersurface, like in applications to field theories on flat spacetime, but rather surface integrals over the two-dimensional boundaries of a Cauchy hypersurface. Such surface charges have played a key role in the understanding of general relativity since the ADM (Arnowitt-Deser-Misner) Hamiltonian analysis and later on the seminal paper by Regge and Teitelboim. In current research, these surface charges play an important role in phenomenological applications: for instance the quantities measured by LIGO and Virgo, like the mass and angular momentum of coalescing black holes carried away by gravitational waves, are understood as surface charges. They also play a role in theoretical developments: they describe the first law of black hole mechanics, enter the description of black hole entropy and have been used to explore resolutions of the black hole information paradox. There is currently an active area of interest around the charges, and various open questions are on the table, from the inclusion of gravitational multipoles to understanding their correct quantization. There is a second subtle aspect of general relativity that I addressed in this thesis. A consequence of the diffeomorphism invariance of the theory is the presence of first class constraints, like the Gauss law in gauge theories. This first class constraints limit the choice of admissible initial conditions for the Cauchy problem in a non-linear, highly non-trivial way. This is a problem that shows up very clearly in numerical relativity, where one has to carefully implement the constraints and make sure that the approximations used by the numerical grid don't introduce too strong violations. Good initial conditions are known for very simple solutions, and a general solutions of the constraints is unknown. This fact has an important consequence also for approaches to quantum gravity. In loop quantum gravity for example, there of space, and geometric operators with discrete spectra and non-commutativity properties. This picture holds at the kinematical level, namely prior to the imposition of the quantum version of the Hamiltonian diffeorphism constraints, and it is not proved that the same quantum geometry would also describe the physical Hilbert space of the theory, defined on-shell on the constraints. A different perspective to the problem can be gained if one switches attention from a Cauchy initial value problem on a space-like hypersurface to a characteristic initial value problem on a null hypersurface. In this case, it is known since the work of Sachs in the sixties that one can identify constraint-free data, in the form of the shear of the null geodesics congruence of the hypersurface. The question is whether these constraint-free data can be given an interpretation in terms of connection variables, and then the loop quantum gravity techniques be applied.