Soutenance de thèse de Daria BULGAKOVA

L'algèbre de Brauer murée est une algèbre unitaire associative. C’est une algèbre schématique englobée par des diagrammes ‘murés’ particuliers avec multiplication donnée par concaténation. Cette algèbre peut être définie en termes de générateurs, obéissant à certaines relations. Dans la première partie de la thèse, nous construisons la forme normale de l’algèbre de Brauer murée - un ensemble de monômes de base (mots) dans des générateurs. Cet ensemble est construit à l’aide du lemme de diamant de Bergman: nous présentons un ensemble de règles permettant de réduire tout monôme des générateurs en un élément de la forme normale. Nous appliquons ensuite la forme normale pour calculer la fonction génératrice pour le nombre de mots de longueur minimale donnée. Une procédure de fusion donne une construction de la famille maximale d’idempotents minimaux orthogonaux deux à deux dans l’algèbre, et fournit donc un moyen de comprendre les bases des représentations irréductibles. Comme résultat principal de la deuxième partie, nous construisons la procédure de fusion pour l’algèbre de Brauer et nous montrons que tous les idempotents primitifs peuvent être trouvés en évaluant une fonction rationnelle à plusieurs variables. Dans la troisième partie, nous étudions le produit tenseur mixte des représentations fondamentales tridimensionnelles de l’algèbre de Hopf U_q sl (2 | 1). L'un des principaux résultats consiste en l'établissement de formules explicites pour la décomposition de produits tensoriels de tout module simple ou projectif U_q sl (2 | 1) -module avec les modules générateurs. Un autre résultat important consiste à décomposer le produit tenseur mélangé sous forme de bimodule.

The walled Brauer algebra is an associative unital algebra. It is a diagram algebra spanned by particular ‘walled’ diagrams with multiplication given by concatenation. This algebra can be defined in terms of generators, obeying certain relations. In the first part of the dissertation we construct the normal form of the walled Brauer algebra - a set of basis monomials (words) in generators. This set is constructed with the aid of the so-called Bergman’s diamond lemma: we present a set of rules which allows one to reduce any monomial in generators to an element from the normal form. We then apply the normal form to calculate the generating function for the numbers of words with a given minimal length. A fusion procedure gives a construction of the maximal family of pairwise orthogonal minimal idempotents in the algebra, and therefore, provides a way to understand bases in the irreducible representations. As a main result of the second part we construct the fusion procedure for the walled Brauer algebra and show that all primitive idempotents can be found by evaluating a rational function in several variables. In the third part we study the mixed tensor product of three-dimensional fundamental representations of the Hopf algebra U_q sl(2|1). One of the main results consists in the establishing of the explicit formulae for the decomposition of tensor products of any simple or any projective U_q sl(2|1)-module with the generating modules. Another important outcome consists in decomposing the mixed tensor product as a bimodule.