Ecole Doctorale

Mathématiques et Informatique de Marseille

Spécialité

Mathématiques

Etablissement

Aix-Marseille Université

Mots Clés

Fonctions polyanalytiques,Opérateurs de Toeplitz,Transformée de Berezin,Analyse complexe,

Keywords

Polyanalytic functions,Toeplitz operators,Berezin transform,Complex analysis,

Titre de thèse

Eléments sur la transformée de Berezin et sur les opérateurs de Toeplitz dans des espaces de fonctions polyanalytiques
Part of the Berezin transform and Toeplitz operator study in polyanalytic function spaces

Date

Mardi 10 Décembre 2019 à 11:00

Adresse

Centre de Mathématiques et Informatique (CMI) Technopôle Château-Gombert 39, rue F. Joliot Curie 13 453 Marseille Cedex 13 A préciser

Jury

Directeur de these M. EL HASSAN YOUSSFI Institut de Mathématiques de Marseille (I2M)
Directeur de these M. Stéphane RIGAT Institut de Mathématiques de Marseille (I2M)
Examinateur M. Alexandre BORICHEV Institut de Mathématiques de Marseille (I2M)
Examinateur M. Miroslav ENGLIS Mathematics Institute of Prague
Examinateur M. Emmanuel FRICAIN Laboratoire Paul Painlevé UMR CNRS 8524
Rapporteur M. Karim KELLAY Institut de Mathématiques de Bordeaux UMR 5251
Rapporteur M. Emmanuel MAZZILLI Laboratoire Paul Painlevé UMR CNRS 8524
Examinateur M. Elisabeth STROUSE Institut de Mathématiques de Bordeaux UMR 5251

Résumé de la thèse

Les fonctions polyanalytiques enti`eres g'en'eralisent les fonctions enti`eres dans la mesure o`u elles sont les solutions sur le plan complexe $mathbb{C}$ de l''equation de Cauchy-Riemann `a l'ordre $n$, de la forme ${partial}^n f / partial overline{z}^n = 0$. Un espace de Fock polyanalytique $F^2_{alpha,n}$ est, par analogie avec le cas classique, le sous-espace ferm'e de l'espace de Hilbert $L^2(mathbb{C},dmu_alpha)$, o`u $mu_alpha$ est une mesure de probabilit'e gaussienne sur $mathbb{C}$ de param`etre $alpha>0$, form'e des fonctions polyanalytiques enti`eres d'ordre $n$. L'objet de cette th`eses est l''etude d''el'ements classiques de la th'eorie des op'erateurs tels que la transform'ee de Berezin et les op'erateurs de Toeplitz dans le cadre particulier des espaces de Fock polyanalytiques. Dans ce manuscrit, il est montr'e en particulier que les points fixes de la transform'ee de Berezin qui appartiennent aux espaces de Lebesgue sont les fonctions nulles ou 'eventuellement constantes. Concernant les op'erateurs de Toeplitz, le probl`eme de Sarason est 'etudi'e. Etant donn'ee une fonction $f$, l'op'erateur de Toeplitz de symbole $f$ est formellement d'efini par $T^{alpha,n}_f(h)=P_{alpha,n}(f h)$, o`u $P_{alpha,n}$ est la projection orthogonale de $L^2(mathbb{C},dmu_{alpha})$ sur $F^2_{alpha,n}$. Le probl`eme de Sarason consiste `a donner une condition n'ecessaire et suffisante sur $f$ et $g$ pour que le produit d'op'erateurs de symboles $f$ et $bar g$ soit continu.

Thesis resume

Entire polyanalytic functions generalize entire functions in that they are solutions of "Cauchy-Riemann equations of order $n$", of the form ${partial}^n f / partial overline{z}^n = 0$, over the whole complex plane $mathbb{C}$. Polyanalytic Fock space $F^2_{alpha,n}$ is, by analogy with the classical case, the closed subspace of the Hilbert space $L^2(mathbb{C},dmu_alpha)$, where $mu_alpha$ is a Gaussian probability measure over $mathbb{C}$ with weight $alpha>0$, of polyentire functions of order $n$. The aim of this PhD thesis is the study of classical objects of operator theory such that the Berezin transform and Toeplitz operators in the particular case of polyanalytic Fock spaces. In this written, it is shown among other results, that the $L^p$ fixed points of the Berezin transform are constant functions. Concerning Toeplitz operators, the Sarason problem is studied. Given a function $f$, the Toeplitz operator with symbol $f$ is formally defined by $T^n_f(h)=P_{F^2_n}(f h)$, where $P_{F^2_n}$ is the orthogonal projection from $L^2(mathbb{C},dmu)$ onto $F^2_n$. The so-called Sarason's problem consists in finding necessary and sufficient conditions on the symbols $f$ and $g$ for the Toeplitz product with symbols $f$ and $bar g$ to be bounded in the Fock space.