Soutenance de thèse de EL HADJI SAMB

Ma thèse porte sur la contrôlabilité à zéro de systèmes paraboliques. Dans un premier temps, je me suis intéressé à une extension à la dimension N>1 d'espace d’un résultat de Szymon Dolecki dans "Observability for the one-dimensional heat equation", publié en 1973 et qui donne une caractérisation de la contrôlabilité ponctuelle de l'équation de la chaleur mono-dimensionnelle. J'ai prouvé la contrôlabilité interne de l’équation de la chaleur N-dimensionnelle, sur des domaines de la forme A_1×A_2, avec A_1=(0, 1) et A_2 un domaine borné et régulier de R^N-1, N>1, lorsque le contrôle est exercé sur {x_0} x w_2, avec x_0 un nombre réel algébrique de degré d >1 et w_2 un ouvert non vide de A_2. Mon résultat s’appuie sur la stratégie dite de Lebeau-Robbiano et exige une limite supérieure du coût du contrôle mono-dimensionnel sur (0,1). Cette dernière est obtenue en utilisant le théorème de Liouville sur l'approximation diophantienne. Ce résultat a fait l’objet d’une publication aux Comptes-Rendus de l’Académie des Sciences, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 353 (2015) 925–930. Dans une seconde partie j'ai étudié la contrôlabilité à zéro de deux équations paraboliques couplées par une matrice dont les coefficients dépendent de l’espace. Dans ce cas un nouveau phénomène : condensation des fonctions propres. Les travaux précédents imposaient que la famille des fonctions propres de l’opérateur parabolique considéré forme une base de Riesz. Le système que j'ai étudié ne satisfait pas cette hypothèse. S’inspirant d’une méthode proposée par F.Boyer, M.Morancey et Assia, j'ai formulé l’expression d’un temps T_0 dépendant de la condensation simultanée de fonctions propres et valeurs propres. Ce travail vient d’être soumis pour publication.

My thesis concerns the null-controllability of parabolic equations. At first, i was interested in an extension in the dimension N> 1 of the space of a result of Szymon Dolecki in " Observability for the one-dimensional heat equation ", published in 1973 and which gives a characterization of the punctual controllability of the heat equation mono-dimensional . I proved the internal controllability of the heat equation N-dimensionnelle, on domains of the shape A_1×A_2, with A_1 = (0, 1) and A_2 A_2 a regular subdomain of R^N-1, N> 1, when the control is exercised on {x_0}wx w_2, with x_0 an algebraic real number of degree d> 1 and w_2 a open subset not empty of A_2. My result leans on the said strategy of Lebeau-Robbiano and requires an upper limit of the cost of mono-dimensional control on (0,1). The latter is obtained using the Liouville theorem on the diophantine approximation. This result was published in the Accounts-Rendus of the Académie des Sciences, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 353 (2015) 925–930. In a second part i studied the null-controllability of two parabolic equations coupled by a matrix whose coefficients depend on space. In this case a new phenomenon: simultaneous condensation of eigenvalues and eigenfunctions. The previous work required that the family of eigenfunctions of the parabolic operator considered form a Riesz base. The system that i studied does not satisfy this hypothesis. Based on a method proposed by F.Boyer, M.Morancey and Assia, i formulated the expression of a time T_0 depending on the condensation of eigenvalues and associated eigenfunctions. This work has been submitted for publication.