Ecole Doctorale
Mathématiques et Informatique de Marseille
Spécialité
Mathématiques
Etablissement
Aix-Marseille Université
Mots Clés
Contrôlabilité,équations paraboliques,systèmes couplés,temps minimal,indice de condensation,
Keywords
controllability,parabolic equations,coupled systems,minimal,condensation index,
Titre de thèse
Contrôlabilité de systèmes paraboliques couplés
Contrôlability of coupled parabolic systems
Date
Mercredi 10 Juillet 2019 à 10:00
Adresse
CMI - I2M - Château-Gombert
39 rue Frédéric Joliot-Curie
13453 MARSEILLE cedex 13 Salle C001
Jury
Directeur de these |
Mme ASSIA BENABDALLAH |
AMU |
Rapporteur |
M. Sylvain ERVEDOZZA |
Université Paul Sabatier Toulouse |
Rapporteur |
M. Enrique FERNANDEZ CARA |
Université de Séville, Espagne |
Examinateur |
M. Franck BOYER |
Université Paul Sabatier Toulouse |
Examinateur |
M. Morgan MORANCEY |
Aix-Marseille Université |
Examinateur |
Mme Judith VANCOSTENOBLE |
Université Paul Sabatier Toulouse III |
Résumé de la thèse
Ma thèse porte sur la contrôlabilité à zéro de systèmes paraboliques.
Dans un premier temps, je me suis intéressé à une extension à la dimension
N>1 d'espace dun résultat de Szymon Dolecki dans "Observability for the one-dimensional heat equation", publié en 1973 et qui donne une caractérisation de la contrôlabilité ponctuelle de l'équation de la chaleur mono-dimensionnelle. J'ai prouvé la contrôlabilité interne de léquation de la chaleur N-dimensionnelle, sur des domaines de la forme A_1×A_2, avec A_1=(0, 1) et A_2 un domaine borné et régulier de R^N-1, N>1, lorsque le contrôle est exercé sur {x_0} x w_2, avec x_0 un nombre réel algébrique de degré d >1 et w_2 un ouvert non vide de A_2. Mon résultat sappuie sur la stratégie dite de Lebeau-Robbiano et exige une limite supérieure du coût du contrôle mono-dimensionnel sur (0,1). Cette dernière est obtenue en utilisant le théorème de Liouville sur l'approximation diophantienne. Ce résultat a fait lobjet dune publication aux Comptes-Rendus de lAcadémie des Sciences, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 353 (2015) 925930.
Dans une seconde partie j'ai étudié la contrôlabilité à zéro de deux équations paraboliques couplées par une matrice dont les coefficients dépendent de lespace. Dans ce cas un nouveau phénomène : condensation des fonctions propres. Les travaux précédents imposaient que la famille des fonctions propres de lopérateur parabolique considéré forme une base de Riesz. Le système que j'ai étudié ne satisfait pas cette hypothèse. Sinspirant dune méthode proposée par F.Boyer, M.Morancey et Assia, j'ai formulé lexpression dun temps T_0 dépendant de la condensation simultanée de fonctions propres et valeurs propres. Ce travail vient dêtre soumis pour publication.
Thesis resume
My thesis concerns the null-controllability of parabolic equations.
At first, i was interested in an extension in the dimension
N> 1 of the space of a result of Szymon Dolecki in " Observability for the one-dimensional heat equation ", published in 1973 and which gives a characterization of the punctual controllability of the heat equation mono-dimensional . I proved the internal controllability of the heat equation N-dimensionnelle, on domains of the shape A_1×A_2, with A_1 = (0, 1) and A_2 A_2 a regular subdomain of R^N-1, N> 1, when the control is exercised on {x_0}wx w_2, with x_0 an algebraic real number of degree d> 1 and w_2 a open subset not empty of A_2. My result leans on the said strategy of Lebeau-Robbiano and requires an upper limit of the cost of mono-dimensional control on (0,1). The latter is obtained using the Liouville theorem on the diophantine approximation. This result was published in the Accounts-Rendus of the Académie des Sciences, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 353 (2015) 925930.
In a second part i studied the null-controllability of two parabolic equations coupled by a matrix whose coefficients depend on space. In this case a new phenomenon: simultaneous condensation of eigenvalues and eigenfunctions. The previous work required that the family of eigenfunctions of the parabolic operator considered form a Riesz base. The system that i studied does not satisfy this hypothesis. Based on a method proposed by F.Boyer, M.Morancey and Assia, i formulated the expression of a time T_0 depending on the condensation of eigenvalues and associated eigenfunctions. This work has been submitted for publication.