Soutenance de thèse de REMFORT-AURAT Ulysse
Titre de thèse
Représentations A-stables des groupes hyperboliques
A-stable representations of hyperbolic groups
Résumé de la thèse
Soit $Gamma$ un groupe hyperbolique et $G$ le groupe d'isométries d'un espace métrique géodésique et Gromov-hyperbolique. Dans cette thèse, nous étudions les dynamiques de l'action du groupe d'automorphismes extérieurs $mathrm{Out}(Gamma)$ sur $mathcal{X}(Gamma,G)$, l'espace des classes de conjugaison des représentations de $Gamma$ dans $G$. Le cas classique qui motive cette étude est l'action proprement discontinue du groupe modulaire sur l'espace de Teichmüller. Plus généralement, il est bien connu que $mathrm{Out}(Gamma)$ agit proprement discontinûment sur l'ensemble des (classes de conjugaison des) représentations quasi-isométriquement plongées ou convexes cocompactes, tandis que les dynamiques sur le complémentaire de ces ensembles sont moins bien comprises.
Pour élargir ce cadre, nous étudions les représentations $A$-stables, définies grâce à un sous-ensemble $A subset Gamma$ invariant par $mathrm{Aut}(Gamma)$. Celles-ci généralisent les représentations primitives-stables de Minsky pour les groupes libres. Nous fournissons une condition suffisante sur $A$ pour que l'ensemble $S_A(Gamma,G)$ des classes de conjugaison de représentations $A$-stables forme un sous-ensemble de $mathcal{X}(Gamma,G)$ ouvert, invariant par $mathrm{Out}(Gamma)$, et où l'action est proprement discontinue. Deux familles sont étudiées en détail.
La première est lorsque $A$ est l'ensemble des commutateurs de $Gamma$. Nous prouvons que les représentations commutateur-stables ont toujours une image discrète et un noyau fini, soulignant ainsi une différence de comportement par rapport aux représentations primitives-stables. Grâce à cela, nous pouvons établir de nouvelles caractérisations des sous-groupes convexes cocompacts dans $mathrm{PSL}_2(mathbb{C})$, en montrant en particulier l'équivalence entre les propriétés commutateur-stable et convexe cocompacte.
La deuxième famille est lorsque $Gamma=Gamma_g$ est le groupe fondamental d'une surface orientable fermée de genre $ggeqslant 2$ et $A$ est l'ensemble des courbes simples. Nous analysons les représentations simples-stables et nous donnons une caractérisation de ces représentations lorsque $G$ est le groupe d'isométries d'une variété de Hadamard pincée. Puis, nous nous spécialisons au cas où $G=mathrm{PU}(2,1)$ est le groupe d'isométries biholomorphes du plan hyperbolique complexe. Nous montrons qu'il existe des représentations simples-stables de $Gamma_2$ qui ne sont pas discrètes et fidèles. Nous en déduisons que l'ensemble des classes de conjugaison des représentations simples-stables forme un domaine de discontinuité pour l'action de $mathrm{Out}(Gamma)$ sur $mathcal{X}(Gamma_2,mathrm{PU}(2,1))$ qui est strictement plus grand que celui des convexes cocompacts.
Thesis resume
Let $Gamma$ be a hyperbolic group and $G$ the group of isometries of a geodesic Gromov-hyperbolic metric space. In this thesis, we study the dynamics of the action of the outer automorphism group $mathrm{Out}(Gamma)$ on $mathcal{X}(Gamma,G)$, the space of conjugacy classes of representations of $Gamma$ into $G$. The classical motivating case is the properly discontinuous action of the modular group on Teichmüller space. More generally, it is known that $mathrm{Out}(Gamma)$ acts properly discontinuously on the set of quasi-isometrically embedded or convex cocompact representations, whereas the dynamics on the complement are much less understood.
To broaden this framework, we introduce $A$-stable representations, defined with respect to a subset $A subset Gamma$ invariant under $mathrm{Aut}(Gamma)$. These generalize Minsky's primitive-stable representations for free groups. We provide a sufficient condition on $A$ ensuring that the set $S_A(Gamma,G)$ of conjugacy classes of $A$-stable representations forms a subset of $mathcal{X}(Gamma,G)$ that is open, $mathrm{Out}(Gamma)$-invariant, and on which the action is properly discontinuous. Two families are studied in detail.
The first is when $A$ is the set of commutators of $Gamma$. We prove that commutator-stable representations always have discrete image and finite kernel, thus highlighting a strong contrast with primitive-stable representations. We also obtain new characterizations of convex cocompact subgroups of $mathrm{PSL}_2(mathbb{C})$, in particular by showing the equivalence between the commutator-stability and convex cocompactness.
The second family is when $Gamma=Gamma_g$ is the fundamental group of a closed orientable surface of genus $ggeqslant 2$, and $A$ is the set of simple closed curves. We then analyze simple-stable representations and give a characterization of such representations when $G$ is the isometry group of a pinched Hadamard manifold. We further specialize to the case where $G=mathrm{PU}(2,1)$ is the biholomorphic isometry group of the complex hyperbolic plane. We show that there exist simple-stable representations of $Gamma_2$ that are non-discrete and non-faithful. We deduce that the set of conjugacy classes of simple-stable representations yields a domain of discontinuity for the action of $mathrm{Out}(Gamma)$ on $mathcal{X}(Gamma_2,mathrm{PU}(2,1))$ that is strictly larger than that of convex cocompact representations.