Soutenance de thèse de BOISSEAU Paul
Titre de thèse
Sur certains aspects spectraux de formules des traces relatives et les conjectures de Gan-Gross-Prasad
On some spectral aspects of relative trace formulae and the Gan–Gross–Prasad conjectures
Résumé de la thèse
Cette thèse porte sur des questions liées aux périodes de formes automorphes et aux développements spectraux de formules des traces. On applique nos résultats aux conjectures de Gan–Gross–Prasad et d'Ichino–Ikeda globales qui relient ces périodes à des valeurs spéciales de fonctions L.
La première moitié de la thèse porte sur les périodes de Fourier–Jacobi sur les groupes unitaires. Dans le premier chapitre, on étudie leur théorie locale et on démontre la conjecture d'Ichino–Ikeda non-ramifiée. Dans le second chapitre, on s'intéresse à leurs versions automorphes. On commence par régulariser les développements spectraux des deux formules des traces relatives de Liu. On effectue ensuite une comparaison des développements géométriques de ces formules afin de relier deux caractères relatifs globaux. Cela nous permet de démontrer les conjectures de Gan–Gross–Prasad et d'Ichino–Ikeda globales pour les modèles de Fourier–Jacobi sur les groupes unitaires. Les résultats de ce second chapitre ont été obtenus en collaboration avec Hang Xue et Weixiao Lu.
Dans la seconde moitié de la thèse, on étudie la question du prolongement de la période de Rankin–Selberg au spectre automorphe non générique des groupes généraux linéaires. En utilisant les travaux d'Ichino–Yamana et Zydor, on construit une période régularisée définie sur des induites de représentations automorphes discrètes pertinentes. On prouve qu'elle admet une expression en produit eulérien et que son annulation est équivalente à celle d'un certain quotient de fonctions L globales. Cela démontre la conjecture de Gan–Gross–Prasad non générique. On obtient aussi une nouvelle preuve d'une direction de la conjecture analogue locale, précisant ainsi les travaux de Chan dans le cas p-adique. Dans le cas archimédien, le résultat est complètement nouveau. On formule enfin une conjecture sur le développement spectral fin de la période de Rankin–Selberg.
Thesis resume
This thesis addresses questions related to periods of automorphic forms and spectral developments of trace formulae. We apply our results to the global Gan–Gross– Prasad and Ichino–Ikeda conjectures which relate these periods to special values of L-functions.
The first half of the thesis is concerned with Fourier–Jacobi periods on unitary groups. In the first chapter, we study their local theory and prove the non-ramified Ichino–Ikeda conjecture. In the second chapter, we examine their automorphic versions. We begin by regularizing the spectral developments of Liu's relative trace formulae. We then perform a comparison of the geometric developments of these formulae which allows us to relate two global relative characters. This leads to a proof of the global Gan–Gross–Prasad and Ichino–Ikeda conjectures for Fourier–Jacobi models on unitary groups. The results of this second chapter were obtained in collaboration with Hang Xue and Weixiao Lu.
In the second half of the thesis, we study the issue of extending the Rankin–Selberg period to the non-generic automorphic spectrum of general linear groups. Using the works of Ichino–Yamana and Zydor, we construct a regularized period defined on induced representations of relevant discrete automorphic representations. We prove that it admits an Euler product expression and that its vanishing is equivalent to that of a certain quotient of global L-functions. This proves the non-generic Gan–Gross–Prasad conjecture. Along the way, we also obtain a new proof of one direction of the analogous local conjecture. This refines the work of Chan in the p-adic case. In the Archimedean case this result is completely new. Finally, we formulate a conjecture on the fine spectral development of the Rankin–Selberg period.