Soutenance de thèse de TIMHADJELT Sarah

Résumé de la thèse

Cette thèse s'articule autour de deux projets principaux. Un premier travail porte sur le comportement spectral d'un opérateur de Markov obtenu en sommant une matrice aléatoire et une matrice déterministe. Nous nous intéressons à l'asymptotique en terme de dimension. Nous introduisons les opérateurs libres par amalgamation qui sont appropriés pour calculer le spectre de notre opérateur en grande dimension. Nous calculons ensuite une approximation du rayon spectral de l'opérateur limite correspondant et donnons enfin une borne supérieure pour le rayon spectral de l'opérateur en dimension finie. Le deuxième travail est consacré à l'étude de l'expansion d'un canal quantique non-hermitien obtenu en sommant des unitaires Haar distribuées indépendantes. En suivant la méthode de Hastings pour borner supérieurement le trou spectral en termes de valeurs propres dans le cas Hermitien, et en l'adaptant pour donner une estimation exacte du trou spectral en termes de valeurs singulières, nous montrons que nous avons construit un expanseur quantique aléatoire à la fois en termes de valeurs singulières et valeurs propres dans le cas non-Hermitien. Nous donnons également une borne inférieure pour la deuxième plus grande valeur singulière et valeur propre, analogue à la borne d'Alon-Boppana pour les graphes d-réguliers. La borne supérieure est obtenue en utilisant les équations de Schwinger-Dyson.