Soutenance de thèse de CHERIK Yenni

Résumé de la thèse

Dans cette thèse, nous étudions les germes de morphismes finis définis sur des surfaces analytiques complexes singulières ayant pour codomaine le plan complexe. Nous introduisons une famille d'invariants analytiques associés à ces morphismes, que nous appelons les "taux internes". Le premier résultat de cette thèse consiste en une formule reliant les taux internes aux données topologiques de la courbe polaire associée au morphisme fini. Cela généralise un théorème précédemment démontré par Belotto, Fantini et Pichon dans le cas où le morphisme fini en question est une projection linéaire.
En utilisant les taux internes, nous examinons la courbe polaire associée au morphisme fini tout en fixant les données topologiques du germe de surface complexe environnant. Cela nous permet d'aborder un problème connu sous le nom d'exploration polaire.
La deuxième application principale consiste à utiliser les taux internes pour étudier la géométrie des fibres de Milnor d'une fonction holomorphe non constante, en particulier, la concentration asymptotique de la courbure gaussienne le long de ces fibres.
Le troisième résultat majeur de cette thèse contribue à l'étude de la géométrie Lipschitz des germes de surfaces complexes. Notre résultat consiste en la construction explicite d'une famille infinie de germes de surfaces complexes qui sont topologiquement équivalents, mais qui ne sont pas équivalents du point de vue métrique dans le sens Lipschitz.