Soutenance de thèse de LEBLANC Hugo

Résumé de la thèse

La distance de Wasserstein est un outil issu de la théorie du transport optimal, avec des applications dans de nombreux domaines, notamment l'apprentissage automatique, le traitement d'images, les statistiques, la mécanique des fluides, et d'autres encore. Elle fournit un moyen pertinent de quantifier la distance entre des distributions de probabilité en tenant compte de la géométrie de l'espace sous-jacent.
La limitation qui impose d'avoir des mesures de même volume est résolue grâce à la théorie du transport optimal non équilibré, qui autorise la création et la destruction de masse. Dans ce travail, nous étudions plus en détail la formulation duale du transport non équilibré et fournissons une expression analytique des géodésiques via une formule de type McCann dans ce cadre.
Dans ce cadre, nous étendons la distance de Wasserstein à l'espace des mesures positives, en visant à préserver ses propriétés essentielles: l'existence de géodésiques pour une interpolation cohérente, la complétude, ou le contrôle de la convergence faible des mesures, entre autres. Nous introduisons deux distances qui constituent des extensions satisfaisantes de la distance $p$-Wasserstein au comportement différent.
La première distance, $mathbb{W}_p$, est définie pour $1 le p le 2$ sur tout espace géodésique borné. Ses géodésiques séparent fortement la création de masse du transport. Elle hérite également des propriétés issues des travaux existants sur la théorie standard du transport optimal non équilibré.
La deuxième distance, notée $mathsf{WOP}$, peut être définie pour tout $p ge 1$ sur l'espace sous-jacent $mathbb{R}^n$. Son interpolation géodésique combine une variation linéaire de masse avec le transport de Wasserstein. Pour $mathsf{WOP}$, nous détaillons les géodésiques, les barycentres, la structure de variété pseudo-Riemannienne induite, ainsi que les flots gradients pour les fonctionnelles usuelles.
Les flots gradients sont des courbes qui suivent la direction localement optimale induite par une distance donnée afin de diminuer une fonctionnelle aussi efficacement que possible. Le choix d'une distance bien adaptée permet ainsi une convergence rapide vers un minimum, ce qui est particulièrement utile en optimisation. Mais cela permet aussi d'exprimer une équation d'évolution comme un flot gradient pour une fonctionnelle appropriée, une perspective utile pour l'étude des solutions aux EDPs.
En définitive, nous étudions de manière informelle la construction de distances sur l'ensemble des mesures de probabilité de sorte que le flot gradient de la fonctionnelle Chi-2 coïncide avec l'équation d'évolution générée par tout générateur infinitésimal adéquat.