Soutenance de thèse de WARION Pierre
Titre de thèse
Transformées temps-fréquence non linéaires à fenêtres adaptatives
Non linear time-frequency transforms with adaptive windows
Résumé de la thèse
Les transformations temps-fréquences sont extrêmement pratiques et fortement
utilisées dans le domaine du traitement du signal. A l'inverse de transformées dites
"globales" comme la transformée de Fourier, elles permettent une analyse de Fourier
locale, dans les limites des principes d'incertitude. Ces dernières expriment le fait que
la précision dans le domaine fréquentiel se fait au détriment de la localisation
temporelle, et vice versa.
Ces transformations sont généralement construites à partir de règles générales
simples, qui impactent leurs propriétés de localisation conjointe temps-fréquence.
Par exemple la STFT (Short Time Fourier Transform, transformée de Fourier à fenêtre
glissante en français), la précision temporelle est la même à chaque instant et chaque
fréquence : on parle de résolution temps-fréquence constante. La transformée en
ondelettes, qui permet de caractériser des changements d'échelles dans la fonction
(le signal) analysée, a une résolution fréquentielle proportionnelle à la fréquence
analysée : on parle de résolution fréquentielle relative constante. Il existe de
nombreuses variantes caractérisées par d'autres règles liant fréquence (ou temps) et
résolution fréquentielle. Ceci étant, elles sont rarement adaptatives (au sens où la
résolution temps-fréquence n'est pas directement adaptée à partir de caractéristiques
du signal analyse). Et lorsqu'elles le sont, les implications mathématiques de cette
adaptation n'ont, à notre connaissance, jamais été analysées finement.
Cette thèse est précisément consacrée à la construction et l'analyse de telles
transformations adaptatives. Dans notre construction, la résolution autour d'un
instant t ou d'une fréquence ω peut devenir plus ou moins fine selon certains critères
définis en amont. Ce changement de résolution se fait via l'introduction d'une
fonction σ f appelé fonction de focus dépendante de la fonction f analysée, qui définit
l'échelle locale (dans le domaine temporel ou fréquentiel) de la fenêtre d'analyse, ou
l'ondelette d'analyse selon le contexte. Un tel changement dans la définition des
transformées adaptatives brise ainsi les structures de groupe sous-jacentes et la
linéarité des transformées sur lesquelles elles sont basées.
τNous avons ainsi proposé deux transformées distinctes. La première, notée M et dite
νà focus temporel, est basée sur la STFT. La seconde, notée M et dite à focus
fréquentiel, est basée sur la transformée en ondelettes. Dans les deux cas, nos
premiers résultats concernent les propriétés de bases telles que la bonne définition
en tant qu'application (non linéaire) de L 2 (R) dans L 2 (R2 ) pour la première et de
H 2 (R) dans L2 (R2 , d μ), H 2 étant l'espace de Hardy réel et d μ une certaine mesure
propre à notre construction. Nous avons aussi montré des encadrements de normes
dans des espaces correspondants. Nous avons ensuite montré des résultats liés à la
linéarisation des transformées tels que des contrôles de normes mixtes et des estimés
de stabilité.
Un aspect important est le choix des fonctions de focus σ utilisées pour l'adaptation
de la transformée. Nous avons introduit des fonctions de focus basées sur des
mesures d'entropie de Rényi locales (en temps ou en fréquence) calculées à partir
d'une STFT (ou transformée en ondelettes) de référence. Les résultats de stabilité
mentionnés plus haut jouent un rôle central dans la compréhension de ces fonctions
de focus.
Enfin, nous avons jeté les bases pour l'étude de l'inversion des transformées
adaptatives basées sur des entropies de Rényi. Sans conduire encore à des schémas
d'inversion bien définis, ces premiers résultats laissent penser que de tels schémas
seront accessibles.
Les résultats décrits dans cette thèse sont principalement théoriques, mais ils sont
néanmoins illustrés pas quelques simulations numériques, qui prouvent que les
transformées adaptatives que nous avons introduites font sens et on un réel potentiel
applicatif.
Thesis resume
Time-frequency transforms are extremely practical and widely used in signal
processing. Unlike so-called ‘global' transforms such as the Fourier transform, they
allow local Fourier analysis, within the limits of the uncertainty principles. These
express the fact that precision in the frequency domain is achieved at the expense of
temporal localisation, and vice versa.
These transformations are generally based on simple general rules, which have an
impact on their joint time-frequency localisation properties. For example, with the
STFT (Short Time Fourier Transform), the temporal precision is the same at each
instant and each frequency: this is known as constant time-frequency resolution. The
wavelet transform, which is used to characterise changes of scale in the function
(signal) being analysed, has a frequency resolution that is proportional to the
frequency being analysed: this is known as constant relative frequency resolution.
There are many variants characterised by other rules linking frequency (or time) and
frequency resolution. However, they are rarely adaptive (in the sense that the
time-frequency resolution is not directly adapted on the basis of the characteristics of
the analysed signal). And when they are, the mathematical implications of this
adaptation have never, to our knowledge, been analysed in detail.
This thesis is devoted precisely to the construction and analysis of such adaptive
transformations. In our construction, the resolution around a time t or a frequency ω
can become more or less fine depending on certain criteria defined upstream. This
change in resolution is achieved by introducing a function σ f called focus function
dependent on the function f being analysed, which defines the local scale (in the
time or frequency domain) of the analysis window, or the analysis wavelet depending
on the context. Such a change in the definition of adaptive transforms thus breaks the
underlying group structures and linearity of the transforms on which they are based.
τWe have therefore proposed two distinct transforms. The first, called M and referred
νto as time-focused, is based on the STFT. The second, called M and with a
frequency-focus, is based on the wavelet transform. In both cases, our first results
concern basic properties such as the correct definition as a (non-linear) application of
L2 (R) in L2 (R2 ) for the first and of H 2 (R) in L 2 (R2 , d μ), H 2 being the real Hardy space
and d μ a certain measure specific to our construction. We also showed some norm
frames in corresponding spaces. We then showed results related to the linearisation of
transforms such as mixed norm checks and stability estimates.
An important aspect is the choice of the focus function σ used to adapt the transform.
We have introduced focus functions based on local (time or frequency) Rényi entropy
measures computed from a reference STFT (or wavelet transform). The stability
results mentioned above play a central role in understanding these focus functions.
Finally, we have laid the foundations for studying the inversion of adaptive transforms
based on Rényi entropies. Although these initial results have not yet led to
well-defined inversion schemes, they do suggest that such schemes will become
accessible.
The results described in this thesis are mainly theoretical, but they are nevertheless
illustrated by some numerical simulations, which prove that the adaptive transforms
we have introduced make sense and have real application potential.