Soutenance de thèse de THIBAUT Jean

Résumé de la thèse

Les théories de jauge associées aux objets mathématiques que sont les fibrés, semblent
de prime abord correctement décrire les théories fondamentales de la physique que nous
connaissons aujourd'hui. Que ce soient les théories de type Yang-Mills (YM) et leurs connexions
d'Ehresmann concernant les interactions éléctro-faible et forte du Modèle Standard
de la Physique des Particules (MSPP) ou la géométrie de Cartan et sa connexion de
Cartan pour décrire la formulation de premier ordre de la Relativité Générale (RG) et de
théories de la gravitation.
La première partie de thèse étudie des théories de la gravitation construites à partir
de nombres caractéristiques et polynômes invariants sur une variété décrite par une
géométrie de Cartan. Nous montrons que dans certains cas la théorie devient entièrement
topologique. Dans les deux exemples traités (géométrie Lorentzienne et de Möbius/conforme)
c'est en particulier le cas lorsque la contribution de l'action de jauge à l'énergie noire/constante
cosmologique est nulle. De manière générale, nous retrouvons une classe de théories
décrivant la RG, la gravité type MacDowell-Mansouri et l'action de la gravité quantique
à boucles suivant les valeurs des paramètres considérés. Dans le cas Möbius/conforme en
présence de matière (donnée par l'action de Dirac), ajouter un terme d'interaction entre
la torsion et les dilatations mène à une seconde source de courbure, dans ce qui correspondrait
autrement aux équations d'Einstein modifiées par les termes caractéristiques de
la gravité quantique à boucles (cette source additionelle étant dépendante de la densité
de spin de la matière et de la torsion).
Nous étudions aussi une généralisation du modèle précédent, dans laquelle la géométrie
de Cartan est cette fois décrite localement par une algèbre de Lie dont les "constantes"
de structure sont des champs dépendant du point de la variété. Ce changement revient à
passer d'une théorie avec constante cosmologique et couplage gravitationnel donné par la
constante de Newton, à une théorie décrite par une composante dynamique d'énergie noire
et un couplage gravitationnel dépendants du point de la variété. Le principe de moindre
action dicte ensuite la géométrie locale et permet d'exprimer ces quantités comme des
scalaires dépendant de la courbure ainsi que des champs de matière. Un cas particulier
mène à un modèle d'énergie noire du type scalaire de Ricci R avec un couplage gravitationnel
inversement proportionnel à R, menant à un découplage de la matière et de la
courbure dans le cas d'un R divergent. La dernière sous-section de cette première partie
considère des repères/vielbein non abéliens, ce qui amène à l'introduction de termes
mêlant torsion et courbure de l'espace-temps dans l'action.
La seconde partie de la thèse étudie la généralisation de la géométrie de Cartan au
formalisme des théories de jauges sur algébroïdes. Les principaux résultats étant la description
d'une gravité avec boson de jauge massif (via un champ de Higgs introduit naturellement,
comprenant son potentiel et ses interactions de Yukawa avec la matière).
Dans un cas particulier, l'on retrouve les termes caractéristiques de "ghost-free massive
gravity" [de Rham et al., 2011; de Rham, 2014]. Le formalisme mène aussi naturellement
à retrouver l'action des fantômes du groupe de jauge et des difféomorphismes, propre au
formalisme BRSTξ [François et al., 2015; Baulieu and Bellon, 1986]. Au minimum du
potentiel de Higgs un choix particulier permet même de retrouver la jauge Rξ.
Mots clés: Géométrie de Cartan, Classes caractéristiques, Gravité topologique, Algébroïdes
de Lie, Théories Cartan-Higgs-BRST