Soutenance de thèse de BOUCHAREB Naoufal
Titre de thèse
Espaces de modules et champs des fibrés holomorphes affines
Moduli space and moduli stacks of affine bundles
Résumé de la thèse
Nous étudions la classification des fibrés affines holomorphes sur une variété complexe compacte.
La thèse a deux objectifs : dans un premier temps, nous démontrons des théorèmes de classification pour les fibrés affines sur les surfaces de Riemann, notamment pour les fibrés affines sur la droite projective. Nous étudions en détail l'espace des modules des fibrés affines décorés ("framed") et non dégénérés de rang 2 sur $P^1_C$, dont la linéarisation, vue comme faisceau localement libre, est isomorphe à $ {cal O}_{P^1_C}(n_1)oplus {cal O}_{P^1_C}(n_2)$, avec $n_1>n_2$. Nous montrons que cet espace des modules peut être identifié avec le "conoyau topologique" d'un morphisme d'espaces linéaires (au sens de la géométrie complexe) au-dessus de l'espace projectif $P(C[X_0,X_1]_{l})$ des formes binaires de degré $ledf -2-n_2$. La fibre de ce conoyau topologique au-dessus de chaque point de cet espace projectif est donc un espace vectoriel complexe de dimension finie. Nous montrons que la stratification de $P(C[X_0,X_1]_{l})$ définie par les dimensions des fibres est déterminée explicitement par $dedf n_1-n_2$ et la stratification définie par les ensemble de niveau de l'application "cactus rank" $crk:P(C[X_0,X_1]_{l})toN$. On met donc en évidence une relation inattendue entre le problème de classification des fibrés affines de rang 2 sur $P^1_C$ et la théorie des formes binaires.
Le second objectif a un caractère plus général : il concerne la classification des fibrés affines -- sur une variété complexe compacte $X$ -- dont la linéarisation a un type d'isomorphisme fixé. Plus précisément, soit $E$ un fibré vectoriel holomorphe fixé sur $X$ et ${cal E}$ le faisceau localement libre associé. Nous supposons qu'il existe un diviseur effectif $D$ sur $X$ tel que $H^1(X,{cal E}(D))=0$. Cette condition est toujours satisfaite si $X$ est une variété complexe projective.
Nous définissons de manière naturelle le champ ("the stack") des fibrés affines sur $X$ de linéarisation isomorphe à $E$ et nous montrons que ce champ est isomorphe au champ quotient
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$$big[H^0(X,{cal E}(D)_D)/H^0(X,{cal E}(D))ltimes Aut(E)big]$$
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de l'espace vectoriel complexe $H^0(X,{cal E}(D)_D)$ par le produit semi-direct du groupe des automorphismes $Aut(E)$ (qui est toujours un groupe algébrique affine) avec l'espace vectoriel complexe $H^0(X,{cal E}(D))$.
Thesis resume
We study the classification of affine holomorphic bundles over a compact complex manifold $X$.
The thesis has two goals: first we prove classification theorems for affine bundles over Riemann surfaces, notably for affine bundles over the projective line. In particular we study the moduli space of framed, non-degenerate rank 2 affine bundles over the Riemann sphere, whose linearisation, viewed as locally free sheaf, is isomorphic to $ {cal O}_{P^1_C}(n_1)oplus {cal O}_{P^1_C}(n_2)$ where $n_1>n_2$. We show that this moduli space can be identified with the ``topological cokernel" of a morphism of linear spaces over the projective space $P(C[X_0,X_1]_{l})$ of binary forms of degree $ledf -2-n_2$, in particular it fibres over this projective space with vector spaces as fibres. We show that the stratification of $P(C[X_0,X_1]_{l})$ defined by the level sets of the fibre dimension map is determined explicitly by $dedf n_1-n_2$ and the cactus rank stratification of $P(C[X_0,X_1]_{l})$.
The second goal has a broader scope: the classification of affine bundles with fixed linearisation type over a compact complex manifold $X$. More precisely, let $E$ be a fixed holomorphic vector bundle over $X$ and ${cal E}$ the associated locally free sheaf. We will assume that there exists an effective divisor $D$ on $X$ such that $H^1(X,{cal E}(D))=0$. This condition is always satisfied if $X$ is a projective complex manifold.
We define in a natural way the moduli stack of affine bundles on $X$ whose linearisation is isomorphic to $E$, and we prove that this moduli stack is isomorphic to the quotient stack $big[H^0(X,{cal E}(D)_D)/H^0(X,{cal E}(D))ltimes Aut(E)big]$ of the complex vector space $H^0(X,{cal E}(D)_D)$ by the semi-direct product of the automorphism group $Aut(E)$ (which is always an affine algebraic group) by the complex vector space $H^0(X,{cal E}(D))$.