Soutenance de thèse de Julien BRASSEUR

Cette thèse est consacrée principalement à l'analyse mathématique de modèles nonlocaux issus de la dynamique des populations. En général, l'étude de ces modèles se heurte à de nombreuses difficultés dues à l'absence de compacité et d'effets régularisants. A ce titre, leur analyse requiert de nouveaux outils tant théoriques que qualitatifs. Nous présentons des résultats recouvrant ces deux aspects. Dans une première partie, nous développons une "boîte à outils" destinée à traiter certaines quantités récurrentes dans l'étude de ces modèles. En premier lieu, nous étendons la caractérisation des espaces de Sobolev due à Bourgain, Brezis et Mironescu à des espaces de fonctions moins réguliers de type Besov, offrant ainsi un cadre théorique plus adapté à l’étude de certaines équations du type Fisher-KPP. En second lieu, nous étudions la régularité de ces fonctions par restriction sur des hyperplans. Nous montrons que, pour une large classe d'espaces de Besov, une surprenante perte de régularité a lieu. En outre, nous obtenons une caractérisation optimale de la régularité de ces restrictions via des espaces dits à "régularité généralisée". Dans une seconde partie, nous nous intéressons aux propriétés qualitatives des solutions d'équations de réaction-diffusion non-locales posées dans des domaines possiblement hétérogènes. En collaboration avec J. Coville, F. Hamel et E. Valdinoci, nous considérons le cas d'un domaine perforé consistant en l’espace euclidien privé d’un ensemble compact appelé "obstacle". Lorsque ce dernier est convexe (ou presque convexe), nous montrons que les solutions sont nécessairement constantes. Dans un travail conjoint avec J. Coville, nous étudions plus en détail l'influence de la géométrie de l'obstacle sur la classification des solutions. En utilisant des outils du type de ceux développés dans la première partie de cette thèse, nous construisons une famille de contre-exemples lorsque l'obstacle n'est plus convexe. Enfin, dans un travail en collaboration avec S. Dipierro, nous étudions les propriétés qualitatives des solutions de systèmes d'équations elliptiques non-linéaires sous forme variationnelle. Nous y démontrons plusieurs résultats de monotonicité dans un cadre très général qui couvre à la fois le cas des opérateurs locaux et fractionnaires.

This thesis is mainly devoted to the mathematical analysis of some nonlocal models arising in population dynamics. In general, the study of these models meets with numerous difficulties owing to the lack of compactness and of regularizing effects. In this respect, their analysis requires new tools, both theoretical and qualitative. We present several results in this direction. In the first part, we develop a functional analytic toolbox which allows one to handle some quantities arising in the study of these models. In the first place, we extend the characterization of Sobolev spaces due to Bourgain, Brezis and Mironescu to low regularity function spaces of Besov type. This results in a new theoretical framework that is more adapted to the study of some nonlocal equations of Fisher-KPP type. In the second place, we study the regularity of the restrictions of these functions to hyperplanes. We prove that, for a large class of Besov spaces, a surprising loss of regularity occurs. Moreover, we obtain an optimal characterization of the regularity of these restrictions in terms of spaces of so-called “generalized smoothness”. In the second part, we study qualitative properties of solutions to some nonlocal reaction-diffusion equations set in (possibly) heterogeneous domains. In collaboration with J. Coville, F. Hamel and E. Valdinoci, we consider the case of a perforated domain which consists of the Euclidean space to which a compact set, called an “obstacle”, is removed. When the latter is convex (or close to being convex), we prove that the solutions are necessarily constant. In a joint work with J. Coville, we study in greater detail the influence of the geometry of the obstacle on the classification of the solutions. Using tools of the type of those developed in the first part of this thesis, we construct a family of counterexamples when the obstacle is no longer convex. Lastly, in a work in collaboration with S. Dipierro, we study qualitative properties of solutions to nonlinear elliptic systems in variational form. We establish various monotonicity results in a fairly general setting that covers both local and fractional operators.